考研數(shù)學(xué)積分的巧妙解決辦法

　　摘要：歷年考研數(shù)學(xué)對積分部分考查綜合性強(qiáng),是考研數(shù)學(xué)考查的重中之重,所占比重最大。幫幫梳理了不定積分、定積分及二重積分的基本計算思路及方法，目的是使知識系統(tǒng)化，方便大家更有條理地復(fù)習(xí)。

　　一、不定積分

　　不定積分的計算是整個積分運(yùn)算的基礎(chǔ)，定積分、重積分的計算都是依賴于此。因此掌握不定積分的計算方法和思路非常重要。

　　不定積分計算的根本是最基本的積分公式，我們將這些公式分為兩種，一種是基本初等函數(shù)的積分公式，一種是在計算積分的過程中得到的一些公式，例如：

　　這些公式在今后的計算中經(jīng)常用到，所以也總結(jié)在基本積分公式中，需要同學(xué)們記憶并熟練應(yīng)用。在基本公式的基礎(chǔ)之上，掌握常見的積分法即可正確解題，需要清楚的是，不管是何種積分方法，最終都是轉(zhuǎn)化為用基本積分公式解題。

　　常見的積分法：第一類換元積分，又稱為湊微分法，用來解決被積函數(shù)中同時存在原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的情況，基本思想是

　　第二類換元積分是與第一類換元法相反的思路，在計算過程中應(yīng)用得很頻繁，基本思想是

　　分部積分法主要解決兩類不同類型的函數(shù)的乘積形式的積分，尤其是含有反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時的積分，基本思想是

　　關(guān)鍵點(diǎn)是u、v的選取。

　　常見的基本題型包括：有理函數(shù)的積分；可化為有理函數(shù)的積分（包括：三角有理式、指數(shù)有理式）；根式的處理；分部積分法的使用等。

　　二、定積分

　　定積分的計算包含兩方面：一、基本思路是牛萊公式，利用不定積分的解題方法來計算；二、利用對稱區(qū)間及函數(shù)的基本性質(zhì)來解題，主要是運(yùn)用函數(shù)的奇偶性。

　　1、利用不定積分的計算方法

　　1）換元法

　　2）分部積分法

　　2、對稱區(qū)間上函數(shù)定積分的計算

　　1）利用奇偶性

　　2）被積函數(shù)本身無奇偶性，直接計算積分又難算時考慮變量代換，令x=-u。

　　三、二重積分

　　計算二重積分的基本思路是將其化作累次積分（也即兩次定積分），要把二重積分化為累次積分，有兩個主要的方式：一是直接使用直角坐標(biāo)，二是使用極坐標(biāo)。這是我們計算二重積分的兩個主要的武器。

　　首先，對直角坐標(biāo)來說，主要考點(diǎn)有兩個：一是積分次序的選擇，基本原則有兩個：一是看區(qū)域，選擇的積分次序一定要便于定限，說得更具體一點(diǎn)，也就是要盡量避免分類討論；二是看函數(shù)，要盡量使第一步的積分簡單，選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些，實踐表明，大多數(shù)時候，只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡單，那整個積分過程也會比較簡潔，所以我們在拿到一個二重積分之后，可以根據(jù)它的被積函數(shù)考慮一下第一步把哪個變量看成常數(shù)更有利于計算，從而確定積分次序。二是定限，完成定限之后，二重積分就被化為了兩次定積分，就可以直接計算了。

　　以上是我們計算二重積分的主體思路，在此基礎(chǔ)之上，我們還可以利用對稱性，它在二重積分的計算中雖然屬于輔助性的技能，但如果恰當(dāng)使用的話，還是可以明顯地簡化計算。

　　二重積分中的對稱性分為兩種：一是奇偶性，二是輪換對稱性。一般來說，對稱性應(yīng)該使用在拿到一個二重積分之后的第一步，只要積分區(qū)域關(guān)于某坐標(biāo)軸是對稱的，就要先檢驗被積函數(shù)是否具有相應(yīng)的對稱性，尤其要注意有沒有奇函數(shù)，以盡可能地簡化計算。

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