考研線代知識(shí)點(diǎn)之特征值和特征向量

　　摘要：考研數(shù)學(xué)在整個(gè)初試過(guò)程中占得比重是比較大的，相信都引起了大家足夠多的重視。線性代數(shù)作為考數(shù)學(xué)必考的科目，得分率相較高數(shù)來(lái)說(shuō)也是比較高的，因此希望大家可以盡量抓住線代這部分的分?jǐn)?shù)，尤其是基礎(chǔ)題、簡(jiǎn)單題。今天幫幫為大家說(shuō)一說(shuō)特征值和特征向量。

　　一、矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題

　　1.矩陣的特征值與特征向量的概念理解以及計(jì)算問(wèn)題

　　這一部分要求會(huì)求給定矩陣的特征值與特征向量，?？嫉念}型有數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算和抽象型矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算。

　　若給定的矩陣是數(shù)值型的矩陣，則一般的方法是通過(guò)求矩陣特征方程的根得到該矩陣的特征值，然后再通過(guò)求解齊次線性方程組的非零解得到對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。

　　若給定的矩陣是抽象型的，則在求特征值與特征向量的時(shí)候常用的方法是通過(guò)定義，但此時(shí)需要考慮的是特征值與特征向量的性質(zhì)以及應(yīng)用。

　　2.矩陣(方陣)的相似對(duì)角化問(wèn)題

　　這里要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對(duì)角化，另外還要會(huì)求矩陣相似對(duì)角化的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)求可逆陣以及對(duì)角陣。尤其需要掌握的是通過(guò)相似的結(jié)論，反推一些參數(shù)，比如相似可以得到：秩、行列式、特征值、跡等相等，解題中往往是通過(guò)這些量先得到一些參數(shù)。

　　事實(shí)上，矩陣相似對(duì)角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。

　　3.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題

　　其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與2不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求考生除了掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。

　　這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣；也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A。

　　另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A.最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。

　　二、二次型

　　1.二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題

　　二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與矩陣的對(duì)角化問(wèn)題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法；二是配方法。

　　從歷年考題來(lái)看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。

　　也就是說(shuō)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題是同一問(wèn)題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題也就迎刃而解了。

　　另外，在沒(méi)有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。

　　2.二次型的正定性判斷

　　此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型；二是抽象的二次型。

　　對(duì)于具體的數(shù)值型二次型來(lái)說(shuō)，一般可通過(guò)判斷其順序主子式是否全部大于零來(lái)判別二次型是否為正定二次型。

　　而抽象的二次型的正定性判斷可以通過(guò)利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問(wèn)題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的

　　通過(guò)上面的大致梳理，同學(xué)們應(yīng)該基本上了解了這兩個(gè)章節(jié)的出題思路，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，不要鉆牛角尖，比如去證明一下為什么相似可以得到跡相等，為什么合同的充要條件是順序主子式大于零等，這就屬于本末倒置拉。
　
       附：矩陣的特征值與特征向量有關(guān)公式

　?。▽?shí)習(xí)小編：加油豬）