摘要:關(guān)于方陣的高次冪(求矩陣A的n次方這種),是刷題中經(jīng)常遇到的一種類型,有時(shí)候很簡(jiǎn)單的一個(gè)矩陣,它的高次冪卻很難求,考研中對(duì)其考察的頻
作者
佚名
摘要:關(guān)于方陣的高次冪(求矩陣A的n次方這種),是刷題中經(jīng)常遇到的一種類型,有時(shí)候很簡(jiǎn)單的一個(gè)矩陣,它的高次冪卻很難求,考研中對(duì)其考察的頻率并不是很高。今天來理一下常用的幾種方陣求高次冪的方法。
第一步最重要的是觀察所給矩陣的特征,根據(jù)其“典型特征”選用不同的方法,這一步可以很好的理清思路,避免腦子里一團(tuán)亂。
第一種,利用矩陣的跡求高次冪
適用情況:r(A)=1或矩陣的各行或各列成比例,這種矩陣一般可以化簡(jiǎn)成A=αTβ(即一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積的形式)
第二種,二項(xiàng)式展開法
適用情況:矩陣A是上(下)三角矩陣,且主對(duì)角線的元素全為1(注意這里只能是主對(duì)角線的元素全為1,不能是副對(duì)角線)
這樣就可以把矩陣A拆成A=E+B,利用二項(xiàng)式展開求其冪。
這里有個(gè)小結(jié)論,如例題中的矩陣B,若矩陣主對(duì)角線都是0元素,且是上(下)三角陣,那么在求若干次冪之后,會(huì)變成0矩陣,這個(gè)大家可以自己去嘗試一下。
第三種,利用自乘產(chǎn)生的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法
適用情況:矩陣中元素以0,正負(fù)1為主,且元素分布比較規(guī)律,例如對(duì)稱分布,反對(duì)稱分布。此類矩陣自乘一兩次后會(huì)出現(xiàn)明顯規(guī)律。
此類情況在自乘后產(chǎn)生遞推規(guī)律,除了可以直接觀察寫出結(jié)論,也可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。
第四種,利用分塊矩陣求冪
適用情況:矩陣的某一局部有0元素集中,且矩陣為四階及以上的,一般高階矩陣很容易就能看出是否能化成如下的分塊矩陣。
第五種,利用相似性求冪
適用情況:實(shí)對(duì)稱矩陣,且矩陣的元素不為0,正負(fù)1這些
實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似于對(duì)角陣,若用前面第三種方法來算,若矩陣元素不為0和1,運(yùn)算起來又很麻煩且第三種方法發(fā)現(xiàn)不了明顯規(guī)律,所以可以用對(duì)角陣來求冪。
第六種,利用特征值求冪
適用情況:此類求冪,并不是單純的求矩陣的冪,其主要與特征值特征向量結(jié)合在一起,旨在考察對(duì)特征值定義的理解。
以上就是方陣高次冪的常用的幾種解法了,考研考察的范圍基本也在上面六種之中,其中第三種利用遞推式、數(shù)學(xué)歸納法是屬于較難的那種,其余的也就是計(jì)算量略大。
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