考研數(shù)學(xué)易錯點：分段函數(shù)求高階導(dǎo)

　　摘要：對于分段函數(shù)求一階導(dǎo)，各位怕是早已爛熟于心，那么求高階導(dǎo)數(shù)呢？大家是不是會經(jīng)常出錯，但也發(fā)現(xiàn)不了錯誤在哪里，今天幫幫就教大家分段函數(shù)求高階導(dǎo)。

　　不僅是分段函數(shù)，對于一般的函數(shù)，求個三五次導(dǎo)還好說？求n次導(dǎo)呢？一般對于這種無法實現(xiàn)的求導(dǎo)，就可以將導(dǎo)數(shù)與級數(shù)結(jié)合在一起。

　　(導(dǎo)數(shù)如此，那么其他地方呢?其實，有些看似不可積的函數(shù)，與級數(shù)結(jié)合后未必不可積哦?。?br />
　　從一道經(jīng)典的題入手

　　先來復(fù)習一下分段函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)怎么求：

　　連續(xù)的部分直接用求導(dǎo)公式求

　　分段點處的導(dǎo)數(shù)值用導(dǎo)數(shù)的定義求

　　接下來看高階導(dǎo)數(shù)，先看操作

　　那么y(x)的導(dǎo)數(shù)就可以寫成

　　接下來看高階導(dǎo)數(shù)，先看操作

　　然后化簡一下

　　然后我們發(fā)現(xiàn)，當x=0時

　　那么我原來的分段函數(shù)就可以如下表示

　　也就是我的分段函數(shù)用一個式子表示出來了。

　　下面我們來理一理思路：

　　首先，這是一個求導(dǎo)題，而且是求高階導(dǎo)

　　求導(dǎo)我們一般有兩種方法

　　一是用定義，這對于分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)貌似很合適

　　二是用求導(dǎo)公式，一般連續(xù)函數(shù)才能用這個方法

　　但是用定義法去求這里的高階導(dǎo)數(shù)，貌似不合適，如果只是求個2階導(dǎo)數(shù)，3階導(dǎo)數(shù)似乎可以硬著頭皮算。

　　看到n次導(dǎo)數(shù)，想到了萊布尼茲的高階求導(dǎo)公式，但是那個好像只能用于連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)，而且求導(dǎo)公式只能對一個函數(shù)式子求導(dǎo)。

　　然而我們的第一步，就是將一個分段函數(shù)用一個表達式子來表示，這樣的話就滿足用求導(dǎo)公式這種方法的使用條件了。

　　分段函數(shù)一般給大家的第一印象就是不連續(xù)（這是偏見啊!)

　　分段函數(shù)并不是不連續(xù)，只是有的時候沒辦法用一個式子去表達自己的函數(shù)關(guān)系，但是有的時候級數(shù)是可以的，這就是這里我們采用級數(shù)的方法的原因（題中x=0時sinx/x是沒有定義的，但是級數(shù)就沒有這顧慮，因為級數(shù)的x都是在分子上的。）

　　接下來繼續(xù)答題，我們已將分段函數(shù)用一個式子表示了，下面有兩種做法，第一種：將所給式子求n次導(dǎo)數(shù)后，將x=0代入得到答案。這是可以的，但是這種莽夫的做法。我們一般用第二種更高級的方法。（麥克勞林級數(shù)）

　　這是什么操作？

　　然后我們知道分段函數(shù)可以有兩種表示方式了

　　然后看下面一種致命錯誤:

　　貌似沒毛??？

　　但是式子①中左邊式子中只有x的偶次數(shù)項，而右邊既有x的偶次數(shù)項也有x的奇次數(shù)項，當n=3時，左右兩邊的x的次數(shù)明顯不等。

　　那么當n時奇數(shù)的時候，為了保證左右兩邊x的指數(shù)相等，f(x)在0處的n階導(dǎo)必為0；那么右邊的式子就只剩下x的偶數(shù)次項了。

　　有人會問，為什么這里②式中的分子里的n不換成2k?

　　因為這個級數(shù)的所有項都是滿足n=2k的，你把n換成2k也對，但這樣你求的就是f(x)在0的2k次導(dǎo)數(shù)，而我們需要的時n次導(dǎo)，這只是一個表示方式的問題，其表示的內(nèi)容都是一樣的。

　　所以得到最后答案

　　最后補充：

　　對于求高階導(dǎo)數(shù)，尤其是n次導(dǎo)數(shù)

　　1.萊布尼茲公式一般用于所給的f(x)是一個表達式的時候

　　2.而級數(shù)展開的方法是特別針對分段函數(shù)在分段點的高階導(dǎo)數(shù)的

　　3.至于麥克勞林級數(shù)展開均可以和上面2個情況結(jié)合起來

　　一般用于求f(x)在x=0的高階導(dǎo)數(shù)的情況。不管是分段函數(shù)還是一個表達式表示的函數(shù)，都可以用麥克勞林級數(shù)，起的是一個化簡計算的作用。

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