摘要:對(duì)于分段函數(shù)求一階導(dǎo),各位怕是早已爛熟于心,那么求高階導(dǎo)數(shù)呢?大家是不是會(huì)經(jīng)常出錯(cuò),但也發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤在哪里,今天幫幫就教大家分
作者
佚名
摘要:對(duì)于分段函數(shù)求一階導(dǎo),各位怕是早已爛熟于心,那么求高階導(dǎo)數(shù)呢?大家是不是會(huì)經(jīng)常出錯(cuò),但也發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤在哪里,今天幫幫就教大家分段函數(shù)求高階導(dǎo)。
不僅是分段函數(shù),對(duì)于一般的函數(shù),求個(gè)三五次導(dǎo)還好說?求n次導(dǎo)呢?一般對(duì)于這種無法實(shí)現(xiàn)的求導(dǎo),就可以將導(dǎo)數(shù)與級(jí)數(shù)結(jié)合在一起。
(導(dǎo)數(shù)如此,那么其他地方呢?其實(shí),有些看似不可積的函數(shù),與級(jí)數(shù)結(jié)合后未必不可積哦?。?br />
從一道經(jīng)典的題入手
先來復(fù)習(xí)一下分段函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)怎么求:
連續(xù)的部分直接用求導(dǎo)公式求
分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值用導(dǎo)數(shù)的定義求
接下來看高階導(dǎo)數(shù),先看操作
那么y(x)的導(dǎo)數(shù)就可以寫成
接下來看高階導(dǎo)數(shù),先看操作
然后化簡一下
然后我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=0時(shí)
那么我原來的分段函數(shù)就可以如下表示
也就是我的分段函數(shù)用一個(gè)式子表示出來了。
下面我們來理一理思路:
首先,這是一個(gè)求導(dǎo)題,而且是求高階導(dǎo)
求導(dǎo)我們一般有兩種方法
一是用定義,這對(duì)于分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)貌似很合適
二是用求導(dǎo)公式,一般連續(xù)函數(shù)才能用這個(gè)方法
但是用定義法去求這里的高階導(dǎo)數(shù),貌似不合適,如果只是求個(gè)2階導(dǎo)數(shù),3階導(dǎo)數(shù)似乎可以硬著頭皮算。
看到n次導(dǎo)數(shù),想到了萊布尼茲的高階求導(dǎo)公式,但是那個(gè)好像只能用于連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo),而且求導(dǎo)公式只能對(duì)一個(gè)函數(shù)式子求導(dǎo)。
然而我們的第一步,就是將一個(gè)分段函數(shù)用一個(gè)表達(dá)式子來表示,這樣的話就滿足用求導(dǎo)公式這種方法的使用條件了。
分段函數(shù)一般給大家的第一印象就是不連續(xù)(這是偏見啊!)
分段函數(shù)并不是不連續(xù),只是有的時(shí)候沒辦法用一個(gè)式子去表達(dá)自己的函數(shù)關(guān)系,但是有的時(shí)候級(jí)數(shù)是可以的,這就是這里我們采用級(jí)數(shù)的方法的原因(題中x=0時(shí)sinx/x是沒有定義的,但是級(jí)數(shù)就沒有這顧慮,因?yàn)榧?jí)數(shù)的x都是在分子上的。)
接下來繼續(xù)答題,我們已將分段函數(shù)用一個(gè)式子表示了,下面有兩種做法,第一種:將所給式子求n次導(dǎo)數(shù)后,將x=0代入得到答案。這是可以的,但是這種莽夫的做法。我們一般用第二種更高級(jí)的方法。(麥克勞林級(jí)數(shù))
這是什么操作?
然后我們知道分段函數(shù)可以有兩種表示方式了
然后看下面一種致命錯(cuò)誤:
貌似沒毛???
但是式子①中左邊式子中只有x的偶次數(shù)項(xiàng),而右邊既有x的偶次數(shù)項(xiàng)也有x的奇次數(shù)項(xiàng),當(dāng)n=3時(shí),左右兩邊的x的次數(shù)明顯不等。
那么當(dāng)n時(shí)奇數(shù)的時(shí)候,為了保證左右兩邊x的指數(shù)相等,f(x)在0處的n階導(dǎo)必為0;那么右邊的式子就只剩下x的偶數(shù)次項(xiàng)了。
有人會(huì)問,為什么這里②式中的分子里的n不換成2k?
因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)的所有項(xiàng)都是滿足n=2k的,你把n換成2k也對(duì),但這樣你求的就是f(x)在0的2k次導(dǎo)數(shù),而我們需要的時(shí)n次導(dǎo),這只是一個(gè)表示方式的問題,其表示的內(nèi)容都是一樣的。
所以得到最后答案
最后補(bǔ)充:
對(duì)于求高階導(dǎo)數(shù),尤其是n次導(dǎo)數(shù)
1.萊布尼茲公式一般用于所給的f(x)是一個(gè)表達(dá)式的時(shí)候
2.而級(jí)數(shù)展開的方法是特別針對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)的
3.至于麥克勞林級(jí)數(shù)展開均可以和上面2個(gè)情況結(jié)合起來
一般用于求f(x)在x=0的高階導(dǎo)數(shù)的情況。不管是分段函數(shù)還是一個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù),都可以用麥克勞林級(jí)數(shù),起的是一個(gè)化簡計(jì)算的作用。
?。▽?shí)習(xí)小編:咕咚)
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