2017考研大綱解析：微分中值定理“病癥”

　　微分中值定理一直以來是高數(shù)中的重點也是難點，大家對他沒有免疫力，見到這種題就中槍。因為微分中值定理這部分主要考證明題，大家看到證明題，就直接放棄。這和同學(xué)們不理解微分中值定理以及各定理之間的關(guān)系有關(guān)。下面我為大家整理了中值定理這部分考研的命題方向和特點，為大家提出系統(tǒng)化的思路方法。

　　首先我們要知道微分中值定理有哪些，并且知道這些定理的證明思想。費馬引理是微分中值定理的基礎(chǔ)。微分中值定理有3個，分別是羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

　　1、羅爾中值定理若滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導(dǎo);(3)則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。

　　在這里我們要注意羅爾中值定理的條件，區(qū)間問題不容忽視，而且我們還要會證明。這里我簡要說明一下，這個證明利用了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最值性和介值性定理。

　　2、拉格朗日中值定理若滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。在這里我們可以看出羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。我們要知道這個定理的證明思想，并且在2009年數(shù)一二三就考了拉格朗日中值定理的證明。其次我們還要掌握拉格朗日中值定理的變形。下面我們來證明一下拉格朗日中值定理。

　　證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且則由羅爾中值定理得，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，證畢。在微分中值定理的證明題中一般都會用到這個思想就是構(gòu)造輔助函數(shù)，目的是要用到羅爾中值定理。其實我們這里的輔助函數(shù)可以有很多種，比如我們還可寫成，只要根據(jù)結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)滿足羅爾中值定理的要求就可以。

　　3、柯西中值定理若，滿足：(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開區(qū)間可導(dǎo)且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。同樣我們可以看出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，令即可。下面我們來證明一下柯西中值定理。

　　證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，顯然滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)且滿足羅爾中值定理，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，即，證畢。在這里輔助函數(shù)我們也有很多種，滿足羅爾中值定理就可以。

　　柯西中值定理

　　拉格朗日中值定理

　　羅爾中值定理

　　從上面我們可以得出三個定理之間的關(guān)系為

　　在考研數(shù)學(xué)中，微分中值定理只要記住理解他們，注意他們使用的條件，以及證明的思想(構(gòu)造輔助函數(shù))，我覺得這種證明題我們就不要擔(dān)心了。

　　祝大家考研成功!