數(shù)學(xué)備考初期要解決的19個問題

　　【摘要】在考研初期，考研復(fù)習(xí)策略與方法是考生最關(guān)注的。選哪些資料，看幾遍書，如何把握復(fù)習(xí)節(jié)奏等，在此以問答的形式回答大家的疑問。

　　1、市面或網(wǎng)上的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料很多：考綱、各類文章、真題、各階段的模擬題，那么考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本依據(jù)是什么？

　　答：基本依據(jù)是考綱和歷年真題?？荚嚧缶V是命題依據(jù)，考生可以通過考綱獲得考研的最基本也是最權(quán)威的信息，如考試范圍和考試要求。而歷年真題在所有試題中含金量最高，可以通過對真題的分析獲得多方面的信息，如試題難度，核心考點(diǎn)等。

　　2、能否簡單概括考研數(shù)學(xué)的要求？
　　答：我們依據(jù)什么來回答這個問題呢？我認(rèn)為是對考綱和真題的分析。從考綱看，考研數(shù)學(xué)對考生有掌握程度的要求，分為“了解”、“理解”和“掌握”；從考研真題看，考研數(shù)學(xué)的要求如果用三個關(guān)鍵字概括，即：“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”。

　　3、“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”具體指什么？
　　答：考生可任選一道考研真題，該題可能有一定難度和綜合性，但其分解之后的考點(diǎn)都在考綱規(guī)定的考點(diǎn)范圍內(nèi)，說明考研數(shù)學(xué)重基礎(chǔ)。

　　那么打牢基礎(chǔ)是否能輕松應(yīng)對考試呢？不夠，還需要在此基礎(chǔ)上總結(jié)方法。比如中值定理相關(guān)的證明題是令不少考生頭痛的一類題?？忌鸦A(chǔ)內(nèi)容（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）掌握好后（定理內(nèi)容能完整表述，定理本身會證），直接做真題，很可能沒什么思路，不知道朝哪個方向想。

　　知識從理解到應(yīng)用有一個過程：理解了不代表會用，應(yīng)用還有個方向問題——在哪方面應(yīng)用呢？這時(shí)真題的價(jià)值就顯現(xiàn)出來了：真題是很好的素材，通過對歷年真題的分析總結(jié)，可以對真題的具體應(yīng)用有直觀認(rèn)識，對真題的命題思路有全面認(rèn)識。

　　換句話說，通過對真題“歸納題型，總結(jié)方法”可以讓考生知道拿到題目往哪個方向想。以中值定理相關(guān)的證明這類題型為例，如果總結(jié)到位了，就能達(dá)到如下效果：拿到一道此類型的題目，一般可以從條件出發(fā)進(jìn)行思考，看要證的式子是含一個中值還是兩個。

　　若是一個，再看含不含導(dǎo)數(shù)，若含導(dǎo)數(shù)，優(yōu)先考慮羅爾定理，否則考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（主要是兩個定理——介值定理和零點(diǎn)存在定理）；若待證的式子含兩個中值，則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

　　4、后面的時(shí)間如何安排，如何規(guī)劃？
　　答：一般來說，一個完整的考研復(fù)習(xí)周期為近一年的時(shí)間——從3月到12月（但是現(xiàn)在備考越來越提前，已經(jīng)有2017考生現(xiàn)在就開始準(zhǔn)備了。），可以劃分為“考研四季”：考研之春（準(zhǔn)備-6月），考研之夏（7-8月），考研之秋（9-10月）和考研之冬（11-12月）。

　　前三季對應(yīng)考研數(shù)學(xué)的三個要求——“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”，第四季的任務(wù)是模擬演練，查漏補(bǔ)缺。

　　以上是大的規(guī)律性的東西。每位考生可以根據(jù)自身的情況制定自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃。

　　5、“基礎(chǔ)”、“方法”我相對完整地過了一遍，那接下來怎么達(dá)到“熟練”呢？
　　答：考生可能對考研沒有透徹的理解，但一定對高考有較全面的把握。而考研數(shù)學(xué)和高考數(shù)學(xué)有不少相似之處，那么大家如何達(dá)到高考數(shù)學(xué)的“熟練”的要求呢？多做題是有效的途徑。做什么題？真題和模擬題。

　　優(yōu)先選真題，市面上有十幾年的真題解析，網(wǎng)上也有一些資料。此外，假設(shè)考生考數(shù)學(xué)三，那么不光做數(shù)三的歷年真題，數(shù)一數(shù)二，只要在數(shù)三的考試范圍內(nèi)的真題，也要做。最后，想要達(dá)到“熟練”，分享一句賣油翁的話，“無他，唯手熟爾”。

　　6、剛做了兩套測試卷，感覺不理想，“基礎(chǔ)”、“方法”我好像都沒掌握好，受打擊呀。
　　答：李開復(fù)說過“挫折不是懲罰，而是成長的契機(jī)”。測試成績不理想，感覺受打擊也是人之常情。但更積極的態(tài)度是將其看成完善、提升的機(jī)會。暴露出問題不可怕，甚至是必要的。我們還有相對充足的時(shí)間，完全可以有大幅度的提升。

　　你這種情況也不少。那既然發(fā)現(xiàn)了自己基礎(chǔ)不牢，方法也未完全掌握，那怎么做其實(shí)自己也明白了。數(shù)學(xué)是很“誠實(shí)”的學(xué)科，有的文科自己沒有什么思路，還可以寫點(diǎn)自己的認(rèn)識，但數(shù)學(xué)沒有思路，真的寫不出什么來。所以從頭做起，扎扎實(shí)實(shí)是必不可少的。當(dāng)然，也不要忘記“考研之秋”的任務(wù)。

　　7、我基礎(chǔ)還可以，下個階段有沒有詳細(xì)些的建議？只一個“熟練”就夠了？
　　答：對于基礎(chǔ)不錯，有志于考高分的考生，下個階段的復(fù)習(xí)可以在以下三個方面下功夫：適當(dāng)拓展難度，提升熟練度，提升準(zhǔn)確度。

　　要想在考場上游刃有余，只做與真題難度相當(dāng)?shù)念}目是不夠的。適當(dāng)做點(diǎn)難度超過真題的模擬題，可以使考生再面對真題是感覺“簡單”。也有考生問能否推薦模擬卷。大家可以上網(wǎng)上查查銷量最好的模擬卷，得到市場認(rèn)可的資料質(zhì)量不會錯。

　　8、有時(shí)復(fù)習(xí)狀態(tài)不好，您有什么好的建議？
　　答：經(jīng)驗(yàn)性的文章網(wǎng)上有很多，這里不贅述了。網(wǎng)上有很多關(guān)于備考心理調(diào)節(jié)的方法，大家可以根據(jù)自身情況作參考。

　　9、復(fù)習(xí)全書要不要過一遍呢？很糾結(jié)。
　　答：有不少質(zhì)量不錯的數(shù)學(xué)資料，考生不知如何取舍。我的看法是這樣：可以按照權(quán)威性給資料排個序，以高數(shù)資料為例：“同濟(jì)六版教材”—“復(fù)習(xí)全書”—各類模擬卷。這樣可以按照資料的權(quán)威性來選擇復(fù)習(xí)資料，過完教材過復(fù)習(xí)全書。

　　書不在多，而在精。真正的高手未必用了很多資料，但很可能是把權(quán)威性的資料用的很精。比如教材，包含了考綱要求的基礎(chǔ)知識，來龍去脈寫得很詳細(xì)，而且一些方法也蘊(yùn)含在題目中，但需要挖掘整理。所以能把教材用精了的考生水平一定不低。

　　再比如，“復(fù)習(xí)全書”經(jīng)過了時(shí)間檢驗(yàn)，質(zhì)量不錯。怎么用精？過一遍肯定不行，得過兩、三遍。另外，題目最好自己動手做，而不是僅僅看。走筆至此，劉禹錫的《陋室銘》中的句子就在嘴邊：山不在高，有仙則靈；水不在深，有龍則靈……

　　10、我是工作之后再回來考研的，前面沒有系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，現(xiàn)在做題很吃力，要不要從基礎(chǔ)的開始看呢？
　　答：建議打牢基礎(chǔ)。“基礎(chǔ)不牢，地動山搖”。

　　11、碰到一道題，想了十多分鐘想不出來，怎么辦？
　　答：不能一概而論，要視題和自己兩方面的情況而定。

　　從題的角度，可以看題的難度和重要程度。如果題目本身確實(shí)比較難，而自己目前基礎(chǔ)較薄弱，可以先放一放，等后面功底深厚了，再來個“回馬槍”；如果題目本身屬于核心考點(diǎn)，那確實(shí)應(yīng)該多花一些時(shí)間，兩個、三個十分鐘也值得。其他情況，考生可作相應(yīng)處理。

　　從自身的情況看，可以看基礎(chǔ)和時(shí)間。如果自己基礎(chǔ)較薄弱，那挑戰(zhàn)難題就不大明智；如果時(shí)間充裕，多思考下難題倒是無妨，但如果時(shí)間緊，而還有比較基礎(chǔ)的考點(diǎn)沒搞定，那還是把難題放一放好。

　　以上策略適用于備考，也適用于考場答題?？紙錾吓龅揭粫r(shí)想不出來的題目是正常的，建議先放一放，把能搞定的題目做完，再回過頭來琢磨這道題。這樣做的好處是：萬一這道題做不出來，因?yàn)橐呀?jīng)搞定大部分基礎(chǔ)題，所以仍能得到一個可接受的分?jǐn)?shù)；做出來，當(dāng)然是錦上添花了。另外，搞定大部分基礎(chǔ)題后，考生心理會“有底”，而在放松的狀態(tài)下是有利于做出較難的題目的。

　　有的同學(xué)做不出某道題，不愿意往下走，做下面的題會不舒服。我想提醒這類同學(xué)：我們畢竟是在考試，而不是做學(xué)問?？荚嚨哪康氖窃谙薅ǖ臅r(shí)間內(nèi)發(fā)揮出最佳水平，取得盡可能高的分?jǐn)?shù)。所以考試是個“條件最值”問題，我們無法取到“無條件最值”那種理想解。而做學(xué)問應(yīng)該花時(shí)間搞定每個點(diǎn)?？荚囀莿?wù)實(shí)的，而做學(xué)問則帶有理想主義色彩。

　　12、我是“二戰(zhàn)”考生，老是心里沒底怎么辦？
　　答：為什么會心里沒底？是擔(dān)心遺漏考點(diǎn)，還是擔(dān)心會的題做錯，還是怕搞不定新題？

　　如果擔(dān)心遺漏考點(diǎn)，那么梳理體系是個不錯的方法。找若干張空白的紙，可以按照章節(jié)，可以按照模塊，系統(tǒng)梳理該部分的知識點(diǎn)、方法和題型。一趟梳理過后，自己心里會“有底”一些：考試要求有哪些，自己掌握了哪些，哪些掌握得不牢固。

　　如果擔(dān)心會的題做錯，那得分析做錯的原因。一般來說可以通過多練來解決。也不排除是心理作用。其實(shí)不只是考試，處理工作以及生活中的問題都需要自信。自信的人能充分甚至超水平發(fā)揮自己的水平。

　　自信源自何處？充分準(zhǔn)備和多練。所謂“盡人事而待天命”，“改變能改變的事，接受不能改變的事，用智慧分辨二者的不同”以及“積極進(jìn)取，隨意而安”，道理都是相通的。我們把自己能做的事做好，就可以把心放下了。

　　13、概率中的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)常考大題，這部分不大理解，但按照步驟也能做對，要不要花精力理解呢？
　　答：這就像練武，內(nèi)功沒有長進(jìn)，也沒有融會貫通，但是記住了招式，這樣行嗎？也未必不行。因?yàn)檎惺揭彩俏涔Φ囊徊糠郑鲆娝捷^低的對手，按照招式走也常常有效。但這是多數(shù)習(xí)武者追求的嗎？

　　答案顯而易見。對于備考而言，“理解”、“融會貫通”能提升考生的內(nèi)功，而排除偶然因素后，內(nèi)功深厚是考高分的必要條件。

　　14、線性代數(shù)向量那部分的定理比較抽象，一定要會證明嗎？
　　答：向量部分有兩大部分內(nèi)容需要重點(diǎn)把握：一部分是向量的兩個核心概念“線性相關(guān)”和“線性表出”與線性方程組的關(guān)系；另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。

　　前一部分對處理數(shù)值型向量組的“線性相關(guān)”和“線性表出”問題很有效——處理“線性相關(guān)”問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有非零解的問題；處理“線性表出”問題轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組的解的存在性問題。

　　后一部分對考生的邏輯思維能力要求較高。定理內(nèi)容要熟悉，大部分的定理要會證明。如“n（n>=（2）個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是存在一個向量能由其余向量線性表出”，該定理有助于理解“線性相關(guān)”這個概念的含義，另外該定理的證明過程中包含著證明一個向量由一個向量組線性表出的思路：找一個包含這個向量和向量組的等式，說明該向量的系數(shù)不為0即可。

　　15、線代既靈活又抽象，怎么把握呢？
　　答：線性代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)是樹形結(jié)構(gòu)還是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)？不少同學(xué)回答網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)?？忌紫葢?yīng)該把考綱規(guī)定的每個考點(diǎn)掌握好，接下來完成“歸納題型，總結(jié)方法”的任務(wù)（可以自己把參考資料總結(jié)的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收），接下來就是形成體系和強(qiáng)化重難點(diǎn)了。

　　如何形成體系呢？用核心的概念把相關(guān)的知識串起來是個不錯的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價(jià)條件？從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線性無關(guān)，從線性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r（A）=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉(zhuǎn)置乘A正定。

　　還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么？線性代數(shù)中有兩個秩：一個矩陣的秩，一個向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數(shù)。一個矩陣的秩為k意味著什么？要會“翻譯”。

　　“直接翻譯”的結(jié)論是矩陣非零子式的最高階數(shù)為k。只會“直接翻譯”還不足以應(yīng)對考題，還得會“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。再進(jìn)一步思考：前半句話用秩的語言怎么描述？應(yīng)為r（A）>=k；后半句話用秩的語言怎么描述？應(yīng)為r（A）<=k。

　　再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況？應(yīng)有兩種情況：（1）矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0；（2）矩陣不存在k+1階子式（如矩陣是k階方陣）。這樣關(guān)于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達(dá)到熟練。

　　類似地，我們可以對“向量組的秩”這個概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)。什么是極大線性無關(guān)組？顧名思義即個數(shù)最多的線性無關(guān)的子向量組。但是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義必不可少。

　　這個地方提到一個問題：有同學(xué)對于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，而通過舉例子等方式理解，這樣可以嗎？不行。舉例子確實(shí)有助于理解，但代替不了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。其實(shí)，定義理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相關(guān)問題：如極大無關(guān)組是否唯一？如果不唯一，那它們是什么關(guān)系？

　　還可以繼續(xù)思考矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系。任給一個矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個秩是什么關(guān)系？結(jié)論是相等。這個結(jié)論不需要證明，會用即可。

　　16、總是感覺概率理解不透徹，不好把握。
　　答：從考試的角度，大家看看歷年真題就發(fā)現(xiàn)比較明顯的規(guī)律：概率的題型相對固定，哪考大題哪考小題非常清楚。概率?？即箢}的地方是：隨機(jī)變量函數(shù)的分布，多維分布（邊緣分布和條件分布），矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。其它知識點(diǎn)考小題，如隨機(jī)事件與概率，數(shù)字特征等。

　　從學(xué)科的角度，概率的知識結(jié)構(gòu)與線性代數(shù)不同，不是網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)，而是躺倒的樹形結(jié)構(gòu)。第一章隨機(jī)事件與概率是基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上可以討論隨機(jī)變量，這就是第二章的內(nèi)容。隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線性代數(shù)。

　　考生也可以看看考研真題，數(shù)一、數(shù)三概率考五道題，這五題的第一句話為“設(shè)隨機(jī)變量X……”，“設(shè)總體X……”，“設(shè)X1，X2，…，Xn為來自X的簡單隨機(jī)樣本”，無論“隨機(jī)變量”、“總體”和“樣本”本質(zhì)上都是隨機(jī)變量。

　　所以隨機(jī)變量的理解至關(guān)重要。討論完隨機(jī)變量之后，討論其描述方式。分布即為描述隨機(jī)變量的方式。分布包括三種：分布函數(shù)、分布律和概率密度。其中分布函數(shù)是通用的描述工具，適用于所有隨機(jī)變量，分布律只針對離散型隨機(jī)變量而概率密度只針對連續(xù)型隨機(jī)變量。之后討論常見的離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量，考研范圍內(nèi)需要考生掌握七種常見分布。

　　介紹完一維隨機(jī)變量之后，推廣一下就得到了多維隨機(jī)變量。多維分布總體上分成三種：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。其中每種分布又細(xì)分為分布函數(shù)、分布律和概率密度。只不過條件分布函數(shù)我們不考慮。該章?？即箢}，?？茧S機(jī)變量函數(shù)的分布和邊緣分布、條件分布。之后討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

　　分布包含著隨機(jī)變量的全部信息，如果只關(guān)心部分信息就要考慮數(shù)字特征了。數(shù)字特征考小題。把公式性質(zhì)記清楚，多練習(xí)即可。

　　大數(shù)定律和中心極限定理是偏理論的內(nèi)容，考試要求不高。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對概率論的應(yīng)用。其中考大題的地方是參數(shù)估計(jì)（矩估計(jì)和極大似然估計(jì)），考小題的點(diǎn)是常用統(tǒng)計(jì)量及其數(shù)字特征，三大統(tǒng)計(jì)分布，正態(tài)總體條件下統(tǒng)計(jì)量的特殊性質(zhì)。

　　17、經(jīng)?？粗鴷粍邮志蜁l(fā)現(xiàn)問題：要么是哪卡住了，要么是做得慢。什么原因，怎么解決？
　　答：這是考生普遍性的問題?？粗鴷f明考生對基本考點(diǎn)、基本方法有一定認(rèn)識；但一動手就發(fā)現(xiàn)問題多多，說明要么考生理解不到位（考試要求考生對考點(diǎn)理解到一定深度）；做得慢，說明不熟練。

　　那么如何解決呢？我覺得可以在兩方面下功夫：理解和熟練。如果理解不透徹，不到位，可以通過聽課、看書、做題解決；如果已經(jīng)理解了，但不熟練，那只有多練，多做題了。

　　18、數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三，高數(shù)都是大頭，高數(shù)命題有什么規(guī)律嗎？
　　答：根據(jù)對2014年的真題分析，發(fā)現(xiàn)高數(shù)命題有如下規(guī)律：

　　（1）側(cè)重對數(shù)一、數(shù)三獨(dú)有知識的考查。數(shù)一有什么獨(dú)有知識？大的模塊有空間解析幾何、多元積分（三重積分、曲線積分和曲面積分）；數(shù)三獨(dú)有的知識包括經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和級數(shù)（相對數(shù)二而言）。比如2014年真題中數(shù)一考了切平面方程，斯托克斯公式還有曲面積分；數(shù)三考了邊際收益和冪級數(shù)求和展開。

　　（2）考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。說白了就是應(yīng)用題。比方上面提到的數(shù)三的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，數(shù)二考到了形心質(zhì)心。前者是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，后者是定積分的幾何應(yīng)用。

　　（3）考點(diǎn)覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理，不要忽略次要考點(diǎn)，要做全面復(fù)習(xí)。這與把握重點(diǎn)是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過來：全面復(fù)習(xí)和把握重點(diǎn)的辯證統(tǒng)一。

　　19、為什么做題這么重要？多看不也行嗎？
　　答：我經(jīng)常問同學(xué)兩個問題，你也可以試著回答一下這兩個問題。
　?。?）考研數(shù)學(xué)是跟高考數(shù)學(xué)比較像，還是跟奧數(shù)比較像？多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為跟高考數(shù)學(xué)像。我也認(rèn)可這種回答。因?yàn)槎际菢?biāo)準(zhǔn)化測試，考查的也是通性通法。

　?。?）大家都是從高考過來的，有沒有見過這兩種同學(xué)：基本不做題，光聽光看，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常好；不聽課，但自己埋頭做題，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常理想？多數(shù)同學(xué)認(rèn)為沒見過第一種同學(xué)，有第二種同學(xué)。我也是這么認(rèn)為的。

　　道理也不難：考試的形式如果是這樣，監(jiān)考老師坐在那，問：“同學(xué)，請你說說中值定理相關(guān)證明這類題的思路”，那么做題確實(shí)有點(diǎn)多余，我們的備考改成“坐而論道”就可以了?？墒乾F(xiàn)實(shí)是考試的形式是筆試，是“雙規(guī)”——在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的地點(diǎn)用筆答題。所以不做題，做題少就不行了。

　　如果用一句話總結(jié)一下聽課與做題的關(guān)系，我覺得是：做題是取得好成績必要條件，而聽課是非必要條件。那聽課的作用是什么？是幫助考生理解，節(jié)省考生自己總結(jié)方法的時(shí)間。

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　?。▽?shí)習(xí)編輯：史若陽）