【2015暑期備考】考研線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)思路解析

　　考研數(shù)學(xué)主要考查三科：高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，三門(mén)課程所占的分值比例也不一樣，總體來(lái)說(shuō)高等數(shù)學(xué)占考研數(shù)學(xué)的大部分比例，而線(xiàn)性代數(shù)不管數(shù)幾所占的分值比例均是22%。雖然線(xiàn)代只占22%的分值，但是它的復(fù)習(xí)確有一定的難度，這是因?yàn)榫€(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科不僅知識(shí)點(diǎn)多、概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多，而且各章節(jié)的內(nèi)容也是相互縱橫交錯(cuò)的，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系非常緊密。因此，廣大考生在暑期復(fù)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的時(shí)候應(yīng)該將重點(diǎn)放在對(duì)基本概念的理解上，做到掌握基本定理的條件、結(jié)論及其應(yīng)用、各種運(yùn)算規(guī)律及基本題型的計(jì)算方法等。多注重知識(shí)點(diǎn)之間的銜接與轉(zhuǎn)換，注重理解，多思考多總結(jié)，使知識(shí)成網(wǎng)狀，努力提高自己綜合分析問(wèn)題的能力。
　　為了讓考生在暑期復(fù)習(xí)中能將線(xiàn)性代數(shù)提高到一個(gè)新的層次，在此為給各位研友分析一下歷年考研重點(diǎn)及其復(fù)習(xí)思路，以使大家做到有的放矢決勝千里！考研線(xiàn)性代數(shù)總共涉及到六章的內(nèi)容，接下來(lái)我們針對(duì)各章節(jié)進(jìn)行考點(diǎn)的總結(jié)，并給出暑期復(fù)習(xí)重難點(diǎn)。

　　第一章行列式
　　本章的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，主要有兩種類(lèi)型的題目：數(shù)值型行列式的計(jì)算和抽象型行列式的計(jì)算。數(shù)值型行列式的計(jì)算不會(huì)以單獨(dú)題目的形式考查，但是在解決線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題以及特征值與特征向量的問(wèn)題時(shí)均涉及到數(shù)值型行列式的計(jì)算；而抽象型行列式的計(jì)算問(wèn)題會(huì)以填空題的形式展現(xiàn)，在歷年考研真題中可以找到有關(guān)抽象型行列式的計(jì)算問(wèn)題。因此，廣大考生在暑假?gòu)?fù)習(xí)期間行列式這塊要做到利用行列式的性質(zhì)及展開(kāi)定理熟練的、準(zhǔn)確的計(jì)算出數(shù)值型行列式的值，不論是高階的還是低階的都要會(huì)計(jì)算；另外還要會(huì)綜合后面的知識(shí)會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的抽象行列式的值。

　　第二章矩陣
　　本章需要重點(diǎn)掌握的基本概念有可逆矩陣、伴隨矩陣、分塊矩陣和初等矩陣，可逆陣與伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)也很重要，也是需要考生掌握的。除了這些就是矩陣的基本運(yùn)算，可以將矩陣的運(yùn)算分為兩個(gè)層次：
　　1、矩陣的符號(hào)運(yùn)算
　　2、具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算
　　矩陣的符號(hào)運(yùn)算就是利用相關(guān)矩陣的性質(zhì)對(duì)給出的矩陣等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，而具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算主要指矩陣的乘法運(yùn)算、求逆運(yùn)算等。

　　第三章向量
　　本章的重點(diǎn)有：
　　1、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性證明、線(xiàn)性表出等問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解向量組的線(xiàn)性相關(guān)性概念，掌握線(xiàn)性相關(guān)性的幾個(gè)相關(guān)定理，另外還要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性，還要善于使用反證法。
　　2、向量組的極大無(wú)關(guān)組、等價(jià)向量組、向量組及矩陣秩的概念，以及它們之間的相互關(guān)系。要求會(huì)用矩陣的初等變換求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組以及向量組或者矩陣的秩。

　　第四章線(xiàn)性方程組
　　本章的重點(diǎn)是利用向量這個(gè)工具解決線(xiàn)性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。題目基本沒(méi)有難度，但是考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意將向量與線(xiàn)性方程組兩章的知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。

　　第五章特征值與特征向量
　　本章的基本要求有三點(diǎn)：
　　1、要會(huì)求特征值、特征向量
　　對(duì)于具體給定的數(shù)值型矩陣，一般方法是通過(guò)特征方程∣λE-A∣=0求出特征值，然后通過(guò)求解齊次線(xiàn)性方程組(λE-A)ξ=0的非零解得出對(duì)應(yīng)特征值的特征向量；而對(duì)于抽象的矩陣來(lái)說(shuō)，在求特征值時(shí)主要考慮利用定義Aξ=λξ，另外還要注意特征值與特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。

　　2、矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題
　　要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，但是重點(diǎn)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化，即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似于對(duì)角陣。這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A；另外由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
　　3、相似對(duì)角化之后的應(yīng)用，主要是利用矩陣的相似對(duì)角化計(jì)算行列式或者求矩陣的方冪。

　　第六章二次型
　　二次型這一章的重點(diǎn)實(shí)質(zhì)還是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。這一章節(jié)要求考生掌握二次型的矩陣表示，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：

　　1、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
　　主要是利用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這是考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)的重點(diǎn)大題題型，考生一定要掌握其做題的基本步驟?；涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的實(shí)質(zhì)也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。

　　2、二次型的正定性問(wèn)題
　　這一知識(shí)點(diǎn)主要考查小題。對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象矩陣的正定性判斷可以通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等得到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。