考研數(shù)學(xué)：前輩吐血總結(jié)史上最全求極限方法

　　摘要：假如高等數(shù)學(xué)是棵樹(shù)木得話，那么極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹(shù)沒(méi)有跟，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，可見(jiàn)這一章的重要性。

　　為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面。
　　首先對(duì)極限的總結(jié)如下。極限的保號(hào)性很重要就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致
　　1、極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）。
　　2、解決極限的方法如下
　　1）等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記。（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。?br /> 　　2）洛必達(dá)法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）
　　首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。（所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的不可能是負(fù)無(wú)窮?。┍仨毷呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）,沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑是死路一條）必須是0比0無(wú)窮大比無(wú)窮大！當(dāng)然還要注意分母不能為0。
　　洛必達(dá)法則分為三種情況
　　1）0比0無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用
　　2）0乘以無(wú)窮無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無(wú)窮大都寫成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了
　　3）0的0次方1的無(wú)窮次方無(wú)窮的0次方
　　對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候LNX趨近于0）
　　3、泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要特變注意?。〆的x展開(kāi)sina展開(kāi)cos展開(kāi)ln1+x展開(kāi)對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助
　　4、面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法。取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母！看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單。
　　5、無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法
　　面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了！
　　6、夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。┻@個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
　　7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）
　　8、各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。
　　9、求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。
　　10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（第二個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用第二個(gè)重要極限）
　　11、還有個(gè)方法，非常方便的方法。就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候，不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的。
　　x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）。當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了
　　12、換元法是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中
　　13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的
　　14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
　　15、單調(diào)有界的性質(zhì)。對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性。
　　16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x）加減某個(gè)值）加減f（x）的形式，看見(jiàn)了有特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。?br />
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