2016考研數學：解析微積分之函數連續(xù)

　　摘要：連續(xù)——是我們微積分學中，對極限的第一個應用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說，函數的圖像是連綿不斷的。在我們考研當中，對這個概念也是親睞有加，在選擇題中反復出現。

　　?首先，所謂連續(xù)即“極限值=函數值”
　　這一個等式包含了三個方面：
　　1、函數必須在該點處有定義；
　　2、函數必須在這個點附近存在極限；
　　3、是前面1、2兩點的內容必須相等，同時滿足這三個條件，才叫做函數在某點處連續(xù)。判斷函數連續(xù)，要先求極限，所以，如何求函數在該點處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個隱含的知識點。

　　?其次，我們自然會問，會不會有不連續(xù)的點呢？
　　答案當然是肯定的，不連續(xù)的點就是我們所說的——間斷點。那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時滿足連續(xù)的三個條件的點：
　　1、函數在該點處沒有定義；
　　2、若函數在該點有定義，但函數在該點附近的極限不存在；
　　3、雖然函數在該點處有定義，極限也存在，但是二者不相等。
　　對于間斷點，根據左右極限存在與否，我們把它分為兩類。若左右極限都存在的間斷點，稱為第一類間斷點；若左右極限相等，這個間斷點稱為第一類間斷點中的可去間斷點；若左右極限不相等，這個間斷點稱為第一類間斷點中的跳躍間斷點；若左右極限中至少有一個不存在(包含極限等于無窮的情形)的間斷點，稱為第二類間斷點；若其中一個極限是趨于無窮的，這個間斷點就稱為無窮間斷點；若極限是在兩個常數之間來回振蕩的，就稱為振蕩間斷點。

　　?三個性質
　　最后，對于連續(xù)性最重要的應用或者是說考研中的一個小難點，就是閉區(qū)間上連續(xù)函數的三個性質：最大最小值定理、零點定理、介值定理。

　　?如何考察
　　對于上面的知識點，我們看看在考研中是怎么考察的。對于連續(xù)的概念，難度上屬于簡單知識點。首先，在十五年前，對于連續(xù)性的考查，更多的是給一個分段函數，然后判斷分段點處函數的連續(xù)性，這是一個基本題型，只需判斷連續(xù)的三個條件即可，其實主要是考查求函數某點處左右極限的值。然后，進入20世紀，考查又傾向于在選擇題當中，給一個函數，讓大家來判斷這個函數有多少間斷點，間斷點的類型是什么，這個又比之前考查的更高一層。最后，就是在邏輯推理題中，考查零點定理，介值定理，通常，考查介值定理的時候也會用到最值定理。我們歸納題型知道，判斷方程根的情況的時候，一般用零點定理；題干中包含好幾個函數值相加的時候，一般用介值定理。

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