16種求極限的方法及一般題型解題思路分享

首先說(shuō)下我的感覺,假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話,那么極限就是他的根,函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性

作者

考yantang

次閱讀

2014-10-21

　　首先說(shuō)下我的感覺,假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話,那么極限就是他的根,函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面：首先對(duì)極限的總結(jié)如下：極限的保號(hào)性很重要,就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致。極限分為一般極限,還有個(gè)數(shù)列極限,（區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種）。

解決極限的方法如下：（我能列出來(lái)的全部列出來(lái)了！你還能有補(bǔ)充么？）
　　1、等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮小）。

　　2、洛必達(dá)法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的，不可能是負(fù)無(wú)窮?。┍仨毷呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無(wú)疑于找死?。。┍仨毷?比0無(wú)窮大比無(wú)窮大！當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用；0乘以無(wú)窮，無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無(wú)窮大都寫成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成第一種的形式了；0的0次方，1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的0次方。對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0，當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候，LNX趨近于0）。

　　3、泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候,尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候要特變注意?。〦的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助。

　　4、面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母?。。】瓷先?fù)雜,處理很簡(jiǎn)單！

　　5、無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法,面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候,尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候,一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了！

　　6、夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。┻@個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

　　7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）。

　　8、各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。

　　9、求左右極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，因?yàn)闃O限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。

　　10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大，無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（第2個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用地兩個(gè)重要極限）

　　11、還有個(gè)方法，非常方便的方法,就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候,不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)，快于冪數(shù)函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）!!當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候，他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了。

　　12、換元法是一種技巧,不會(huì)對(duì)單一道題目而言就只需要換元，而是換元會(huì)夾雜其中。

　　13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。

　　14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法，走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

　　15、單調(diào)有界的性質(zhì)，對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性！

　　16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減某個(gè)值）加減f（x）的形式,看見了要特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！

　　函數(shù)是表皮,函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中。例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：
　　1、奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）；
　　2、周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致；
　　3、復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系；
　　4、還有個(gè)單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)！（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）:o再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問(wèn)題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點(diǎn)是對(duì)于間斷函數(shù)而言的）間斷點(diǎn)分為第一類和第二類剪斷點(diǎn)。第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點(diǎn)或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值可取的間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)是震蕩間斷點(diǎn)或者是無(wú)窮極端點(diǎn)（這也說(shuō)明極限即使不存在也有可能是有界的）。

　　下面總結(jié)一下，求極限的一般題型：
　　1、求分段函數(shù)的極限，當(dāng)函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了！當(dāng)X趨近無(wú)窮時(shí)候存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無(wú)窮的結(jié)果是不一樣的！
　　2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞？說(shuō)白了，就是說(shuō)函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！

　　解決辦法：
　　1、求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了，這不是很容易么？但是！有2個(gè)問(wèn)題要注意！問(wèn)題1：積分函數(shù)能否求導(dǎo)？題目沒說(shuō)積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的！?。?！問(wèn)題2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決？
　　解決1的方法：就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號(hào)！解決2的方法：當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來(lái)，再求導(dǎo)數(shù)??！當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系,就要換元了！（換元的時(shí)候積分上下限也要變化?。?br /> 　　3、求的是數(shù)列極限的問(wèn)題時(shí)候:夾逼或者分項(xiàng)求和定積分都不可以的時(shí)候,就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的,當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義??！數(shù)列是離散的,只能用前后項(xiàng)的比較（前后項(xiàng)相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對(duì)xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限,就能出結(jié)果了！

　　4、涉及到極限已經(jīng)出來(lái)了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問(wèn)題。
解決辦法：主要還是運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小或者是同階無(wú)窮小。因?yàn)槔?當(dāng)x趨近0時(shí)候f（x）比x=3的函數(shù),分子必須是無(wú)窮小，否則極限為無(wú)窮,還有洛必達(dá)法則的應(yīng)用,主要是因?yàn)楫?dāng)未知數(shù)有幾個(gè)時(shí)候,使用洛必達(dá)法則,可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。
　　5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)，但是不太會(huì)！??！
　　:o最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)的題型：
　　首先，遇見間斷點(diǎn)的問(wèn)題、連續(xù)性的問(wèn)題、復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，在某個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題。主要解決辦法一個(gè)是畫圖，你能畫出反例來(lái)當(dāng)然不可以了，你實(shí)在畫不出反例，就有可能是對(duì)的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對(duì)我而言證明很難的！我就畫圖！！我要能畫出來(lái)當(dāng)然是對(duì)的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)?。ㄔ谶@里尤其要注意分段函數(shù)！（例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個(gè)性質(zhì)就比較特殊??！應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）；
　　方法2就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)?。。├缫粋€(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)，還有個(gè)也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的嘞？答案是NO，舉個(gè)反例就可以了；
　　方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式

　　:o最后了，總結(jié)一下函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題：
　　1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對(duì)值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑?？蓪?dǎo)一定連續(xù)，因?yàn)樗袀€(gè)前提，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，假如沒有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等；
　　主要考點(diǎn)1：函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)是否可導(dǎo)？解決辦法：記住函數(shù)絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)等于f（x）除以（絕對(duì)值（f（x）））再乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。所以判斷絕對(duì)值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，找出這些點(diǎn)之后，這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡(jiǎn)單分母是無(wú)窮小，假如分子式無(wú)窮小的話，絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無(wú)窮，所以絕對(duì)值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊。
　　考點(diǎn)2：處處可導(dǎo)的函數(shù)與在，某一些點(diǎn)不可導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的判斷，直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f（x）連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)存在但是不等，左右導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是X趨近a的2個(gè)極限，f（x）乘以G（x）的函數(shù)在x趨近a的時(shí)候，f（x）在這點(diǎn)上的這2個(gè)極限乘以g（a），當(dāng)g（a）等于0的時(shí)候，左右極限乘以0當(dāng)然相等了，乘積的導(dǎo)數(shù)=f（a）導(dǎo)數(shù)乘以G(a)+G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F（a），應(yīng)為f（a）導(dǎo)數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來(lái)了，所以乘積函數(shù)在這點(diǎn)上就可導(dǎo)了。導(dǎo)數(shù)為G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F（a）。

　　帖子地址：http://bbs.kaoyan.com/t5512129p1轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明本帖地址。
　　※來(lái)源：考研論壇bbs.kaoyan.com