2015數(shù)學(xué)沖刺期復(fù)習(xí)十九大問(wèn)題解讀

　　14.線性代數(shù)向量那部分的定理比較抽象，一定要會(huì)證明嗎?
　　劉老師：向量部分有兩大部分內(nèi)容需要重點(diǎn)把握：一部分是向量的兩個(gè)核心概念“線性相關(guān)”和“線性表出”與線性方程組的關(guān)系;另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。
　　前一部分對(duì)處理數(shù)值型向量組的“線性相關(guān)”和“線性表出”問(wèn)題很有效——處理“線性相關(guān)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有非零解的問(wèn)題;處理“線性表出”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組的解的存在性問(wèn)題。
　　后一部分對(duì)考生的邏輯思維能力要求較高。定理內(nèi)容要熟悉，大部分的定理要會(huì)證明。如“n(n>=2)個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是存在一個(gè)向量能由其余向量線性表出”，該定理有助于理解“線性相關(guān)”這個(gè)概念的含義，另外該定理的證明過(guò)程中包含著證明一個(gè)向量由一個(gè)向量組線性表出的思路：找一個(gè)包含這個(gè)向量和向量組的等式，說(shuō)明該向量的系數(shù)不為0即可。
　　15.線代既靈活又抽象，怎么把握呢?
　　劉老師：我問(wèn)過(guò)不少考生這個(gè)問(wèn)題：線性代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是樹形結(jié)構(gòu)還是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)?不少同學(xué)回答網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。考生首先應(yīng)該把考綱規(guī)定的每個(gè)考點(diǎn)掌握好，接下來(lái)完成“歸納題型，總結(jié)方法”的任務(wù)(可以自己把參考資料總結(jié)的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收)，接下來(lái)就是形成體系和強(qiáng)化重難點(diǎn)了。
　　如何形成體系呢?用核心的概念把相關(guān)的知識(shí)串起來(lái)是個(gè)不錯(cuò)的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價(jià)條件?從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線性無(wú)關(guān)，從線性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r(A)=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉(zhuǎn)置乘A正定。
　　還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個(gè)讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?線性代數(shù)中有兩個(gè)秩：一個(gè)矩陣的秩，一個(gè)向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數(shù)。一個(gè)矩陣的秩為k意味著什么?要會(huì)“翻譯”。“直接翻譯”的結(jié)論是矩陣非零子式的最高階數(shù)為k。只會(huì)“直接翻譯”還不足以應(yīng)對(duì)考題，還得會(huì)“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。再進(jìn)一步思考：前半句話用秩的語(yǔ)言怎么描述?應(yīng)為r(A)>=k;后半句話用秩的語(yǔ)言怎么描述?應(yīng)為r(A)<=k。再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況?應(yīng)有兩種情況：1)矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0;2)矩陣不存在k+1階子式(如矩陣是k階方陣)。這樣關(guān)于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達(dá)到熟練。
　　類似地，我們可以對(duì)“向量組的秩”這個(gè)概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。什么是極大線性無(wú)關(guān)組?顧名思義即個(gè)數(shù)最多的線性無(wú)關(guān)的子向量組。但是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義必不可少。這個(gè)地方提到一個(gè)問(wèn)題：有同學(xué)對(duì)于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，而通過(guò)舉例子等方式理解，這樣可以嗎?不行。舉例子確實(shí)有助于理解，但代替不了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。其實(shí)，定義理解好了，方法就是自然而然的了?？忌梢运伎枷嚓P(guān)問(wèn)題：如極大無(wú)關(guān)組是否唯一?如果不唯一，那它們是什么關(guān)系?
　　還可以繼續(xù)思考矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系。任給一個(gè)矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個(gè)秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個(gè)秩是什么關(guān)系?結(jié)論是相等。這個(gè)結(jié)論不需要證明，會(huì)用即可。
　　16.總是感覺(jué)概率理解不透徹，不好把握。
　　劉老師：從考試的角度，大家看看歷年真題就發(fā)現(xiàn)比較明顯的規(guī)律：概率的題型相對(duì)固定，哪考大題哪考小題非常清楚。概率?？即箢}的地方是：隨機(jī)變量函數(shù)的分布，多維分布(邊緣分布和條件分布)，矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。其它知識(shí)點(diǎn)考小題，如隨機(jī)事件與概率，數(shù)字特征等。
　　從學(xué)科的角度，概率的知識(shí)結(jié)構(gòu)與線性代數(shù)不同，不是網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，而是躺倒的樹形結(jié)構(gòu)。第一章隨機(jī)事件與概率是基礎(chǔ)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上可以討論隨機(jī)變量，這就是第二章的內(nèi)容。隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線性代數(shù)?？忌部梢钥纯纯佳姓骖}，數(shù)一、數(shù)三概率考五道題，這五題的第一句話為“設(shè)隨機(jī)變量X……”，“設(shè)總體X……”，“設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本”，無(wú)論“隨機(jī)變量”、“總體”和“樣本”本質(zhì)上都是隨機(jī)變量。所以隨機(jī)變量的理解至關(guān)重要。討論完隨機(jī)變量之后，討論其描述方式。分布即為描述隨機(jī)變量的方式。分布包括三種：分布函數(shù)、分布律和概率密度。其中分布函數(shù)是通用的描述工具，適用于所有隨機(jī)變量，分布律只針對(duì)離散型隨機(jī)變量而概率密度只針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量。之后討論常見的離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量，考研范圍內(nèi)需要考生掌握七種常見分布。
　　介紹完一維隨機(jī)變量之后，推廣一下就得到了多維隨機(jī)變量。多維分布總體上分成三種：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。其中每種分布又細(xì)分為分布函數(shù)、分布律和概率密度。只不過(guò)條件分布函數(shù)我們不考慮。該章?？即箢}，?？茧S機(jī)變量函數(shù)的分布和邊緣分布、條件分布。之后討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性。
　　分布包含著隨機(jī)變量的全部信息，如果只關(guān)心部分信息就要考慮數(shù)字特征了。數(shù)字特征考小題。把公式性質(zhì)記清楚，多練習(xí)即可。
　　大數(shù)定律和中心極限定理是偏理論的內(nèi)容，考試要求不高。
　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)概率論的應(yīng)用。其中考大題的地方是參數(shù)估計(jì)(矩估計(jì)和極大似然估計(jì))，考小題的點(diǎn)是常用統(tǒng)計(jì)量及其數(shù)字特征，三大統(tǒng)計(jì)分布，正態(tài)總體條件下統(tǒng)計(jì)量的特殊性質(zhì)。
　　17.經(jīng)?？粗鴷?huì)，但一動(dòng)手就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：要么是哪卡住了，要么是做得慢。什么原因，怎么解決?
　　劉老師：這是考生普遍性的問(wèn)題?？粗鴷?huì)說(shuō)明考生對(duì)基本考點(diǎn)、基本方法有一定認(rèn)識(shí);但一動(dòng)手就發(fā)現(xiàn)問(wèn)題多多，說(shuō)明要么考生理解不到位(考試要求考生對(duì)考點(diǎn)理解到一定深度);做得慢，說(shuō)明不熟練。
　　那么如何解決呢?我覺(jué)得可以在兩方面下功夫：理解和熟練。如果理解不透徹，不到位，可以通過(guò)聽課、看書、做題解決;如果已經(jīng)理解了，但不熟練，那只有多練，多做題了。
　　18.數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三，高數(shù)都是大頭，高數(shù)命題有什么規(guī)律嗎?
　　劉老師：根據(jù)對(duì)2014年的真題分析，發(fā)現(xiàn)高數(shù)命題有如下規(guī)律：
　　1)側(cè)重對(duì)數(shù)一、數(shù)三獨(dú)有知識(shí)的考查。數(shù)一有什么獨(dú)有知識(shí)?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線積分和曲面積分);數(shù)三獨(dú)有的知識(shí)包括經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和級(jí)數(shù)(相對(duì)數(shù)二而言)。比如2014年真題中數(shù)一考了切平面方程，斯托克斯公式還有曲面積分;數(shù)三考了邊際收益和冪級(jí)數(shù)求和展開。
　　2)考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。說(shuō)白了就是應(yīng)用題。比方上面提到的數(shù)三的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，數(shù)二考到了形心質(zhì)心。前者是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，后者是定積分的幾何應(yīng)用。
　　3)考點(diǎn)覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理，不要忽略次要考點(diǎn)，要做全面復(fù)習(xí)。這與把握重點(diǎn)是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過(guò)來(lái)：全面復(fù)習(xí)和把握重點(diǎn)的辯證統(tǒng)一。
　　19.為什么做題這么重要?多看不也行嗎?
　　劉老師：我經(jīng)常問(wèn)同學(xué)兩個(gè)問(wèn)題，你也可以試著回答一下這兩個(gè)問(wèn)題。
　　1)考研數(shù)學(xué)是跟高考數(shù)學(xué)比較像，還是跟奧數(shù)比較像?多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為跟高考數(shù)學(xué)像。我也認(rèn)可這種回答。因?yàn)槎际菢?biāo)準(zhǔn)化測(cè)試，考查的也是通性通法。
　　2)大家都是從高考過(guò)來(lái)的，有沒(méi)有見過(guò)這兩種同學(xué)：基本不做題，光聽光看，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常好;不聽課，但自己埋頭做題，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常理想?多數(shù)同學(xué)認(rèn)為沒(méi)見過(guò)第一種同學(xué)，有第二種同學(xué)。我也是這么認(rèn)為的。道理也不難：考試的形式如果是這樣，監(jiān)考老師坐在那，問(wèn)：“同學(xué)，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)中值定理相關(guān)證明這類題的思路”，那么做題確實(shí)有點(diǎn)多余，我們的備考改成“坐而論道”就可以了?？墒乾F(xiàn)實(shí)是考試的形式是筆試，是“雙規(guī)”——在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的地點(diǎn)用筆答題。所以不做題，做題少就不行了。
　　如果用一句話總結(jié)一下聽課與做題的關(guān)系，我覺(jué)得是：做題是取得好成績(jī)必要條件，而聽課是非必要條件。那聽課的作用是什么?是幫助考生理解，節(jié)省考生自己總結(jié)方法的時(shí)間。
　　最后，分享一句胡適的名言“功不唐捐”，祝各位考生圓夢(mèng)2015!