2017年考研數(shù)學(xué)大綱解析：線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容和經(jīng)典題型

　　2016年8月26日教育部考試中心發(fā)布了2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱，如同過去的幾年一樣，考研大綱在線性代數(shù)這一科上仍舊沒有發(fā)生變化。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中屬于比較簡(jiǎn)單的，考生在這一塊的分?jǐn)?shù)必須要拿到手，下面就具體的談一下線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型，便于同學(xué)們的復(fù)習(xí)。

　　線性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較鮮明，選擇、填空題主要以計(jì)算題為主，計(jì)算量不大，有一定的靈活性和綜合性，兩道解答題主要是以計(jì)算為主，證明題為輔，因此，線性代數(shù)特別注重考生的計(jì)算能力。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，線代的分?jǐn)?shù)必定不可缺少。

　　行列式的計(jì)算與矩陣相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)包括行列式的計(jì)算公式、可逆判定、求逆、秩以及初等矩陣是后續(xù)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)，整個(gè)線代中的基石。另外線性方程組的求解也是必須要掌握的，無論是直接解方程，還是判定向量能否被線性表出，又或者求特征向量，其方法是相同的，只是和相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，換了種說法。

　　從特征值特征向量往后，關(guān)鍵點(diǎn)是求具體矩陣的特征值的方法、由特征值的性質(zhì)計(jì)算抽象矩陣的特征值，以及特征向量的性質(zhì)在后續(xù)的相似對(duì)角化判定和計(jì)算中的應(yīng)用，實(shí)對(duì)稱矩陣的把握關(guān)鍵是把握住其性質(zhì)同時(shí)繼承了可相似對(duì)角化矩陣的一切性質(zhì)。最后，二次型，從考試的方向來看，把握住二次型中的概念、會(huì)求逆矩陣以及判定二次型正定的方法。具體到每個(gè)考點(diǎn)，下面我們一一闡述每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)內(nèi)容和考試中得?？碱}型。

　　行列式在整張?jiān)嚲碇兄苯涌疾斓牟⒉欢啵绻苯涌疾?，一般是以填空題、選擇題為主，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會(huì)涉及到行列式。如果試卷中沒有獨(dú)立的行列式的試題，必然會(huì)在其他章、節(jié)的考點(diǎn)中得以體現(xiàn)。

　　行列式的重點(diǎn)內(nèi)容是掌握計(jì)算行列式的方法，計(jì)算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行變形，化簡(jiǎn)之后再展開。另外，一些特殊的行列式(行或列和相等的行列式、三對(duì)角行列式、爪型行列式等等)的計(jì)算方法也應(yīng)掌握。常見題型有：數(shù)字型行列式的計(jì)算、抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算。

　　矩陣是線性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點(diǎn)較多，重點(diǎn)考點(diǎn)有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。常見題型有以下幾種：計(jì)算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題、有關(guān)逆矩陣的計(jì)算與證明、解矩陣方程。

　　向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點(diǎn)，也是考研的重點(diǎn)。考生一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線性相關(guān)性的理解。常見題型有：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題。

　　歷年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數(shù)部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容。本章的重點(diǎn)內(nèi)容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對(duì)參數(shù)取值的討論)。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方程組的公共解、同解問題。

　　特征值、特征向量也是線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是考研的重點(diǎn)之一，題多分值大，這一模塊共有三部分重點(diǎn)內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計(jì)算、方陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。重點(diǎn)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對(duì)角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問題。

　　由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱矩陣式一一對(duì)應(yīng)的，所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個(gè)基礎(chǔ)。重點(diǎn)內(nèi)容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念，了解二次型的規(guī)范形和慣性定理，掌握用正交變換，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點(diǎn)題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、二次型正定性的判別。

　　最后，預(yù)祝各位考生在考試中取得優(yōu)異的成績(jī)。