2017考研大綱解析：數(shù)學(xué)大綱解析之線性代數(shù)(五)

　　2017年的考研數(shù)學(xué)大綱剛剛出爐，和2016年相比，大綱基本上沒有變動(dòng)，考研數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)科-高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，各個(gè)學(xué)科所占的比例不變、考試題型不變、各科難點(diǎn)和重點(diǎn)與往年也相同。所以說，考生們可以放下心來，按照原定的規(guī)劃進(jìn)行復(fù)習(xí)就可以了。

　　具體到線性代數(shù)這一學(xué)科，在復(fù)習(xí)的時(shí)候，每一個(gè)模塊的重點(diǎn)、難點(diǎn)應(yīng)該如何把握呢?本文就以實(shí)對(duì)稱矩陣這一模塊為例，介紹一下考生在這一個(gè)模塊的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。

　　所謂實(shí)對(duì)稱矩陣是指元素全為實(shí)數(shù)的對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣是一種比較特殊的矩陣，主要是因?yàn)槌艘话憔仃嚲哂械男再|(zhì)之外，實(shí)對(duì)稱矩陣還有著一些特殊的性質(zhì)，而這些特殊的性質(zhì)往往會(huì)成為考試當(dāng)中的考點(diǎn)。具體來說，實(shí)對(duì)稱矩陣有三條特殊的性質(zhì)：1)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)，這是與非實(shí)對(duì)稱矩陣的第一個(gè)不同之處，因?yàn)?，非?shí)對(duì)稱矩陣的特征值有可能是虛數(shù);2)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交，而非實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量只是線性無關(guān)，不一定正交;3)實(shí)對(duì)陣矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，并且存在一個(gè)正交矩陣，使得，而非實(shí)對(duì)稱矩陣只有當(dāng)特征值的重?cái)?shù)等于其線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)時(shí)，才可相似對(duì)角化。

　　考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，把握住兩個(gè)考點(diǎn)：第一，直接考查實(shí)對(duì)稱矩陣的三條特殊性質(zhì)。比如，對(duì)于性質(zhì)1)，考試中，可以利用實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)，來確定特征值的取值情況;對(duì)于性質(zhì)2)，題目中可能會(huì)給出實(shí)對(duì)稱矩陣的其中一個(gè)或若干個(gè)特征值的特征向量，讓我們求出另一個(gè)特征值的特征向量，這時(shí)，我們可以根據(jù)屬于不同特征值的特征向量正交來求解;對(duì)于性質(zhì)3)，可以從實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化來考查大家，由矩陣可相似對(duì)角化的充要條件—重特征值必有個(gè)線性無關(guān)的特征向量可知，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，有。實(shí)對(duì)稱矩陣這一塊的第二個(gè)考點(diǎn)是計(jì)算正交相似對(duì)角化矩陣。由于正交矩陣指的是列向量組為單位正交向量組的矩陣，再結(jié)合矩陣的相似對(duì)角化矩陣的計(jì)算方法以及實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)3)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化矩陣的具體計(jì)算步驟為：1)計(jì)算矩陣的所有特征值與屬于不同特征值的特征向量;2)將屬于同一特征值的特征向量正交化，因?yàn)椋瑢儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄勘卣?，所以，我們只需將屬于同一個(gè)特征值的特征向量正交化即可;正交化時(shí)，所用的方法就是施密特正交化方法，對(duì)于該方法，大家只需記得前兩個(gè)公式就可以了，即，;3)將所有的特征向量單位化。最后將所得到的列向量組組成一個(gè)矩陣，得到的就是矩陣的相似對(duì)角化矩陣。

　　總的來說，實(shí)對(duì)稱矩陣這個(gè)模塊的題目很綜合，而且計(jì)算量比較大，所以，需要同學(xué)們?cè)谧鲱}的時(shí)候，要做到細(xì)心、有耐心，并且通過多做練習(xí)，提高做題的準(zhǔn)確度與速度。