數(shù)學(xué)高數(shù)：你不知道的出題規(guī)律及?？碱}型

　　摘要：數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三，高數(shù)都是考研數(shù)學(xué)的大頭，根據(jù)往年的數(shù)學(xué)真題分析，發(fā)現(xiàn)高數(shù)命題還是有一定規(guī)律所在的。那么大家就來看看有什么樣的規(guī)律，又有哪些?？嫉念}型吧~

　　一、高數(shù)命題規(guī)律

　　1)側(cè)重對(duì)數(shù)一、數(shù)三獨(dú)有知識(shí)的考查?？佳袛?shù)學(xué)一有什么獨(dú)有知識(shí)?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線積分和曲面積分);數(shù)三獨(dú)有的知識(shí)包括經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和級(jí)數(shù)(相對(duì)數(shù)二而言)。比如2014年真題中數(shù)一考了切平面方程，斯托克斯公式還有曲面積分;數(shù)三考了邊際收益和冪級(jí)數(shù)求和展開。

　　2)考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。說白了就是應(yīng)用題。比方上面提到的考研數(shù)三的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，數(shù)二考到了形心質(zhì)心。前者是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，后者是定積分的幾何應(yīng)用。

　　3)考點(diǎn)覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理，不要忽略次要考點(diǎn)，要做全面復(fù)習(xí)。這與把握重點(diǎn)是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過來：全面復(fù)習(xí)和把握重點(diǎn)的辯證統(tǒng)一。

　　二、?？碱}型

　　?向量代數(shù)與空間解析幾何

　　1、理解向量的概念及其表示。

　　2、掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件;掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

　　3、掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題。

　　4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

　　5、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。

　　?微分方程

　　1.求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當(dāng)然，有些方程不直接屬于我們學(xué)過的類型，此時(shí)常用的方法是將x與y對(duì)調(diào)或作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原方程化為我們學(xué)過的類型;

　　2.求解可降階方程;

　　3.求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;

　　4.根據(jù)實(shí)際問題或給定的條件建立微分方程并求解;

　　?無窮級(jí)數(shù)

　　1.判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂、條件收斂;

　　2.求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂域;

　　3.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和;

　　4.將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)(包括寫出收斂域);

　　5.將函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù)，或已給出傅立葉級(jí)數(shù)，要確定其在某點(diǎn)的和(通常要用狄里克雷定理);

　　?多元函數(shù)的積分學(xué)

　　1.二重、三重積分在各種坐標(biāo)下的計(jì)算，累次積分交換次序;

　　2.第一型曲線積分、曲面積分計(jì)算;

　　3.第二型(對(duì)坐標(biāo))曲線積分的計(jì)算，格林公式，斯托克斯公式及其應(yīng)用;

　　4.第二型(對(duì)坐標(biāo))曲面積分的計(jì)算，高斯公式及其應(yīng)用;

　　5.梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算;

　　6.重積分，線面積分應(yīng)用;求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。

　　?多元函數(shù)的微分學(xué)

　　1.判定一個(gè)二元函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在、是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù);

　　2.求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，求隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);

　　3.求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度;

　　4.求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數(shù)的微分學(xué)與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí);

　　5.多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題;

　　6.求一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)在一個(gè)有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。

　　?一元函數(shù)積分學(xué)

　　1.計(jì)算不定積分、定積分及廣義積分;

　　2.關(guān)于變上限積分的題：如求導(dǎo)、求極限等;

　　3.有關(guān)積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題;

　　定積分應(yīng)用題：

　　計(jì)算面積，旋轉(zhuǎn)體體積，平面曲線弧長，旋轉(zhuǎn)面面積，壓力，引力，變力作功等;

　　綜合性試題。

　　向量代數(shù)和空間解析幾何

　　計(jì)算題：

　　1.求向量的數(shù)量積，向量積及混合積;

　　2.求直線方程，平面方程;

　　3.判定平面與直線間平行、垂直的關(guān)系，求夾角;

　　4.建立旋轉(zhuǎn)面的方程;

　　與多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用或與線性代數(shù)相關(guān)聯(lián)的題目。

　　?一元函數(shù)微分學(xué)

　　1.求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(包括高階導(dǎo)數(shù))，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)，特別是分段函數(shù)和帶有絕對(duì)值的函數(shù)可導(dǎo)性的討論;

　　2.利用洛比達(dá)法則求不定式極限;

　　3.討論函數(shù)極值，方程的根，證明函數(shù)不等式;

　　4.利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關(guān)命題，如“證明在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)滿足……”，此類問題證明經(jīng)常需要構(gòu)造輔助函數(shù);

　　5.幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用問題，解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間;

　　6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形，求曲線漸近線。

　　?函數(shù)、極限與鏈接

　　1.求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù);

　　2.求極限或已知極限確定原式中的常數(shù);

　　3.討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷間斷點(diǎn)的類型;

　　4.無窮小階的比較;

　　5.討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

　　這一部分更多的會(huì)以選擇題，填空題，或者作為構(gòu)成大題的一個(gè)部件來考核，復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是要對(duì)這些概念有本質(zhì)的理解，在此基礎(chǔ)上找習(xí)題強(qiáng)化。

　　三、如何判斷自己掌握了知識(shí)點(diǎn)？

　　大家可任選一道考研數(shù)學(xué)真題，該題可能有一定難度和綜合性，但其分解之后的考點(diǎn)都在考綱規(guī)定的考點(diǎn)范圍內(nèi)，說明考研數(shù)學(xué)重基礎(chǔ)。

　　那么打牢基礎(chǔ)是否能輕松應(yīng)對(duì)考試呢?不夠，還需要在此基礎(chǔ)上總結(jié)方法。比如中值定理相關(guān)的證明題是令不少考生頭痛的一類題。各位考研er把基礎(chǔ)內(nèi)容(閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理內(nèi)容能完整表述，定理本身會(huì)證)，直接做真題，很可能沒什么思路，不知道朝哪個(gè)方向想。

　　知識(shí)從理解到應(yīng)用有一個(gè)過程：理解了不代表會(huì)用，應(yīng)用還有個(gè)方向問題——在哪方面應(yīng)用呢?這時(shí)真題的價(jià)值就顯現(xiàn)出來了：真題是很好的素材，通過對(duì)歷年真題的分析總結(jié)，可以對(duì)真題的具體應(yīng)用有直觀認(rèn)識(shí)，對(duì)真題的命題思路有全面認(rèn)識(shí)。

　　換句話說，通過對(duì)考研數(shù)學(xué)真題“歸納題型，總結(jié)方法”可以讓大家知道哪道題目往哪個(gè)方向想。以中值定理相關(guān)的證明這類題型為例，如果總結(jié)到位了，就能達(dá)到如下效果：拿到一道此類型的題目，一般可以從條件出發(fā)進(jìn)行思考，看要證的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)。若是一個(gè)，再看含不含導(dǎo)數(shù)，若含導(dǎo)數(shù)，優(yōu)先考慮羅爾定理，否則考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(主要是兩個(gè)定理——介值定理和零點(diǎn)存在定理);若待證的式子含兩個(gè)中值，則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

　　經(jīng)過這篇干貨，大家對(duì)高數(shù)的把握是不是大大加深了呢？找到合適的方法與技巧，數(shù)學(xué)對(duì)你來說沒什么困難！