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考研數(shù)學(xué)迷之知識(shí)點(diǎn)——什么是連續(xù)?

  摘要:學(xué)過高數(shù)的同學(xué)應(yīng)該都知道連續(xù),小編一直覺得連續(xù)聽起來是個(gè)很簡單的概念,但其實(shí)又很迷,有點(diǎn)說不清道不明。今天就來好好分析一下連續(xù)是什么,希望可以幫助大家理解的更透徹。

  連續(xù)---是我們微積分學(xué)中,對(duì)極限的第一個(gè)應(yīng)用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說,函數(shù)的圖像是連綿不斷的。

  在我們考研當(dāng)中,對(duì)這個(gè)概念也是親睞有加,在選擇題中反復(fù)出現(xiàn)。

  ?首先,所謂連續(xù)即“極限值=函數(shù)值”

       這一個(gè)等式包含了三個(gè)方面,1、函數(shù)必須在該點(diǎn)處有定義;2、函數(shù)必須在這個(gè)點(diǎn)附近存在極限;3、是前面1、2兩點(diǎn)的內(nèi)容必須相等。

  同時(shí)滿足這三個(gè)條件,才叫做函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)??吹剑袛嗪瘮?shù)連續(xù),要先求極限。

  所以,如何求函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等),是一個(gè)隱含的知識(shí)點(diǎn)。

  ?其次,我們自然會(huì)問,會(huì)不會(huì)有不連續(xù)的點(diǎn)呢?

       答案當(dāng)然是肯定的,不連續(xù)的點(diǎn)就是我們所說的---間斷點(diǎn)。

  那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時(shí)滿足連續(xù)的三個(gè)條件的點(diǎn),即1、函數(shù)在該點(diǎn)處沒有定義;2、若函數(shù)在該點(diǎn)有定義,但函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限不存在;3、雖然函數(shù)在該點(diǎn)處有定義,極限也存在,但是二者不相等。

  對(duì)于間斷點(diǎn),根據(jù)左右極限存在與否,我們把它分為兩類。

  若左右極限都存在的間斷點(diǎn),稱為第一類間斷點(diǎn);若左右極限相等,這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn);若左右極限不相等,這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)。

  若左右極限中至少有一個(gè)不存在(包含極限等于無窮的情形)的間斷點(diǎn),稱為第二類間斷點(diǎn);若其中一個(gè)極限是趨于無窮的,這個(gè)間斷點(diǎn)就稱為無窮間斷點(diǎn);若極限是在兩個(gè)常數(shù)之間來回振蕩的,就稱為振蕩間斷點(diǎn)。

  ?最后,對(duì)于連續(xù)性最重要的應(yīng)用或者是說考研中的一個(gè)小難點(diǎn),就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì):最大最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理。

  對(duì)于上面的知識(shí)點(diǎn),我們看看在考研中是怎么考察的。

  對(duì)于連續(xù)的概念,難度上屬于簡單知識(shí)點(diǎn)。

  首先,在十五年前,對(duì)于連續(xù)性的考查,更多的是給一個(gè)分段函數(shù),然后判斷分段點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性,這是一個(gè)基本題型,只需判斷連續(xù)的三個(gè)條件即可,其實(shí)主要是考查求函數(shù)某點(diǎn)處左右極限的值。

  然后,進(jìn)入20世紀(jì),考查又傾向于在選擇題當(dāng)中,給一個(gè)函數(shù),讓大家來判斷這個(gè)函數(shù)有多少間斷點(diǎn),間斷點(diǎn)的類型是什么,這個(gè)又比之前考查的更高一層。

  在邏輯推理題中,考查零點(diǎn)定理,介值定理,通常,考查介值定理的時(shí)候也會(huì)用到最值定理。

  我們歸納題型知道,判斷方程根的情況的時(shí)候,一般用零點(diǎn)定理;題干中包含好幾個(gè)函數(shù)值相加的時(shí)候,一般用介值定理。具體在證明題中怎么用,會(huì)在專門的證明題專題中講解。

 ?。▽?shí)習(xí)小編:加油豬)

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