考研數(shù)學(xué)迷之知識(shí)點(diǎn)——什么是連續(xù)？

　　摘要：學(xué)過(guò)高數(shù)的同學(xué)應(yīng)該都知道連續(xù)，小編一直覺(jué)得連續(xù)聽(tīng)起來(lái)是個(gè)很簡(jiǎn)單的概念，但其實(shí)又很迷，有點(diǎn)說(shuō)不清道不明。今天就來(lái)好好分析一下連續(xù)是什么，希望可以幫助大家理解的更透徹。

　　連續(xù)---是我們微積分學(xué)中，對(duì)極限的第一個(gè)應(yīng)用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說(shuō)，函數(shù)的圖像是連綿不斷的。

　　在我們考研當(dāng)中，對(duì)這個(gè)概念也是親睞有加，在選擇題中反復(fù)出現(xiàn)。

　　?首先，所謂連續(xù)即“極限值=函數(shù)值”

       這一個(gè)等式包含了三個(gè)方面，1、函數(shù)必須在該點(diǎn)處有定義；2、函數(shù)必須在這個(gè)點(diǎn)附近存在極限；3、是前面1、2兩點(diǎn)的內(nèi)容必須相等。

　　同時(shí)滿足這三個(gè)條件，才叫做函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)?？吹剑袛嗪瘮?shù)連續(xù)，要先求極限。

　　所以，如何求函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個(gè)隱含的知識(shí)點(diǎn)。

　　?其次，我們自然會(huì)問(wèn)，會(huì)不會(huì)有不連續(xù)的點(diǎn)呢？

       答案當(dāng)然是肯定的，不連續(xù)的點(diǎn)就是我們所說(shuō)的---間斷點(diǎn)。

　　那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時(shí)滿足連續(xù)的三個(gè)條件的點(diǎn)，即1、函數(shù)在該點(diǎn)處沒(méi)有定義；2、若函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限不存在；3、雖然函數(shù)在該點(diǎn)處有定義，極限也存在，但是二者不相等。

　　對(duì)于間斷點(diǎn)，根據(jù)左右極限存在與否，我們把它分為兩類。

　　若左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；若左右極限相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)；若左右極限不相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)。

　　若左右極限中至少有一個(gè)不存在(包含極限等于無(wú)窮的情形)的間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)；若其中一個(gè)極限是趨于無(wú)窮的，這個(gè)間斷點(diǎn)就稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)；若極限是在兩個(gè)常數(shù)之間來(lái)回振蕩的，就稱為振蕩間斷點(diǎn)。

　　?最后，對(duì)于連續(xù)性最重要的應(yīng)用或者是說(shuō)考研中的一個(gè)小難點(diǎn)，就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：最大最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理。

　　對(duì)于上面的知識(shí)點(diǎn)，我們看看在考研中是怎么考察的。

　　對(duì)于連續(xù)的概念，難度上屬于簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)。

　　首先，在十五年前，對(duì)于連續(xù)性的考查，更多的是給一個(gè)分段函數(shù)，然后判斷分段點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性，這是一個(gè)基本題型，只需判斷連續(xù)的三個(gè)條件即可，其實(shí)主要是考查求函數(shù)某點(diǎn)處左右極限的值。

　　然后，進(jìn)入20世紀(jì)，考查又傾向于在選擇題當(dāng)中，給一個(gè)函數(shù)，讓大家來(lái)判斷這個(gè)函數(shù)有多少間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的類型是什么，這個(gè)又比之前考查的更高一層。

　　在邏輯推理題中，考查零點(diǎn)定理，介值定理，通常，考查介值定理的時(shí)候也會(huì)用到最值定理。

　　我們歸納題型知道，判斷方程根的情況的時(shí)候，一般用零點(diǎn)定理；題干中包含好幾個(gè)函數(shù)值相加的時(shí)候，一般用介值定理。具體在證明題中怎么用，會(huì)在專門的證明題專題中講解。

　　（實(shí)習(xí)小編：加油豬）