考研數(shù)學：多元函數(shù)微分法定理匯總

　　【摘要】在暑期完成第一輪基礎考點的復習之后，9月份開始需要對考研數(shù)學所考的定理定義進行必要的匯總。本文為同學們整理了高數(shù)部分的多元函數(shù)微分法的定理定義匯總?？佳袔蛿y手2016大綱解析人第一時間解讀大綱，點擊免費報名。

　　
　　?極限存在條件
　　●極限存在是指P（x,y）以任何方式趨于P0（x0,y0）時，函數(shù)都無限接近于A，如果P（x,y）以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0（x0,y0）時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當P（x,y）以不同方式趨于P0（x0,y0）時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x,y)={0  (xy)/(x^2+y^2)  x^2+y^2≠0}

　　?連續(xù)性
　　●定義設函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0（x0,y0）是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點P0（x0,y0）連續(xù)。

　　●性質（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

　　●性質（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

　　?連續(xù)與可導
　　●如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù)，則它在該點必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

　　?可微的必要條件
　　●一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。

　　?可微的充分條件
　　●定理（充分條件）如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)存在且在點(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。

　　?極值存在的必要、充分條件
　　●定理（必要條件）設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必為零。

　　●定理（充分條件）設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在點(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：
　　1、AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；
　　2、AC-B2<0時沒有極值；
　　3、AC-B2=0時可能有也可能沒有。

　　?多元函數(shù)極值存在的解法
　　1、解方程組fx(x,y)=0，fy(x,y)=0求的一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。
　　2、對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數(shù)的值A、B、C。
　　3、定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。
　　注意：在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點外，如果有偏導數(shù)不存在的點，那么對這些點也應當考慮在內(nèi)。

　　（實習編輯：趙峰）