2016考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)知識點框架

　　【摘要】線性代數(shù)作為構(gòu)成考研數(shù)學(xué)的三大科目之一，重要性不言而喻。本文為大家總結(jié)了線性代數(shù)科目的知識點框架，希望可以幫助到大家。考研幫攜手2016大綱解析人第一時間解讀大綱，點擊免費報名。

　　
　　線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點是線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科。

      ?線性方程組
　　線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。
　　關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：
      1、方程組是否有解，即解的存在性問題；
      2、方程組如何求解，有多少個；
      3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

　　?高斯消元法
      這最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：
      1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；
      2、交換某兩個方程的位置；
      3、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。
　　任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
　　由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。
　　對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。
　　可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。

　　?系數(shù)矩陣和增廣矩陣
　　高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
　　階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。
　　對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)d=0這一項，則方程組無解，若未出現(xiàn)d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。
　　在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習(xí)慣。

      ?齊次方程組
　　常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
　　齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解。
　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的最基本理論。
　　對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。

　　通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。
　　用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內(nèi)容。

　　（實習(xí)編輯：趙峰）