碎片挑戰(zhàn)：常見數(shù)學(xué)小問題集錦（1）

　　摘要：在數(shù)學(xué)備考的過程中，我們大都會(huì)把自己沉浸習(xí)題的海洋里，做題，查答案，做題，查答案，如此反復(fù)，不免枯燥。于是，小編找來一些有趣的數(shù)學(xué)小題目，快利用你的碎片時(shí)間來挑戰(zhàn)一下吧。

　　1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為一數(shù)列。下面命題正確的是(  )
　　A、若{xn}收斂，則{f(xn}收斂。

　　B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂。

　　C、若{f(xn)收斂，則{xn}收斂。

　　D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂。

　　解題思路
　　（1）——（C）（D）都不對的關(guān)鍵在于：在本題條件下，就算相應(yīng)的函數(shù)值列收斂或單調(diào)，自變量列xn可以是趨向正無窮的，沒有極限。

　　（2）——（A）情形只知道自變量列xn收斂，它可能不是單調(diào)的。

　　單調(diào)的函數(shù)不一定連續(xù)。且，“如果單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)x0間斷，則只能是跳躍間斷。”（實(shí)際上，如果函數(shù)在x0的左右極限相等，則f（x0）只能等于極限值，否則就破壞了單調(diào)性。）

　　設(shè)想xn既有子列從左邊，又有子列從右邊趨向點(diǎn)x0，則自變量列收斂于點(diǎn)x0而相應(yīng)的函數(shù)值列卻不收斂。故（A）錯(cuò)。

　　反例：x小于0時(shí)f=x，f（0）=1，x大于0時(shí)f=2+x

　　（3）——（B）對。在本題條件下，若自變量列單調(diào)，相應(yīng)的函數(shù)值列必定也單調(diào)。且是有界的。

　　2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加，又f(a)=f(b)=A（常數(shù)），證明，在（a，b）內(nèi)，恒有f(x)<A.

　　解題思路
　　這是個(gè)運(yùn)用“構(gòu)造法”的好題。

　　f(x)在[a，b]上可微，自然連續(xù)。f(a)=f(b)=A，故由洛爾定理，（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)c，f′(c)=0

　　已知f′(x)單增，故零點(diǎn)唯一。且在（a，c）內(nèi)f′(x)＜0，f(x)單減，f(x)<f(a)

　　而在（c，b）內(nèi)f′(x)＞0，f(x)單增，f(x)<f(b)

　　從而在（a，b）內(nèi)，恒有f(x)<A.

　　3、計(jì)算極限小總結(jié)
　　（1）非零的因式先求極限。

　?。?）0/0型未定式題目的兩個(gè)主要類型——

　　分子（或分子分母各）是“等價(jià)無窮小相減產(chǎn)生的高階無窮小”——

　　應(yīng)對手段：連續(xù)使用洛必達(dá)法則。

　　修練方法：利用五個(gè)常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，盡可能多記一些等價(jià)無窮小

　　分子分母是“不同階的無窮小的線性組合”，（無窮小多項(xiàng)式）——

　　應(yīng)對手段：(化零項(xiàng)法)分子分母同除以商式中的最低階的無窮小，各項(xiàng)分別取極限。

　　4、（每段是初等函數(shù)的）分段函數(shù)求導(dǎo)，分界點(diǎn)處用定義計(jì)算，各段用法則與公式。老老實(shí)實(shí)地記與做，既簡明又少犯錯(cuò)誤。
　　當(dāng)然，你可以懂得更細(xì)一點(diǎn)?？蓪?dǎo)一定連續(xù)。不連續(xù)必然不可導(dǎo)。連續(xù)是討論可導(dǎo)性的前提。

　　函數(shù)在點(diǎn)a可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。

　　在定義分界點(diǎn)a的一側(cè)，比如右則?？梢杂枚x求得右導(dǎo)數(shù)。同時(shí)，在右側(cè)這一段內(nèi)，你用法則與公式求出了導(dǎo)函數(shù)。自然就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)想法，能否以此求極限得到點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)。這是錘煉知識及思維細(xì)密性的好時(shí)機(jī)。

　　（1）如果求極限，是求導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限。這個(gè)右極限存在嗎？

　?。?）按照定義求右導(dǎo)數(shù)。“右導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限”是兩回事。

　?。?）如果這個(gè)右極限存在，它和“右導(dǎo)數(shù)”相等嗎？

　　用拉格郎日公式可以證明，“如果導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限存在，則函數(shù)在點(diǎn)a的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”（一個(gè)好練習(xí)題?。?br />
　　左側(cè)可以類似討論。

　　結(jié)論：驗(yàn)證了分段函數(shù)在分界點(diǎn)a連續(xù)后，在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導(dǎo)。令x趨于a，分別求導(dǎo)函數(shù)的極限。若兩者相等，它就是函數(shù)在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)。若兩者不等，函數(shù)在點(diǎn)a不可導(dǎo)。

　　前提很清晰，這樣處理也可以。