2018考研數(shù)學(xué)：十分鐘教你搞定向量和線性方程組

　　摘要：向量和線性方程組是考研數(shù)學(xué)的第一位大咖，每年都會蒞臨考場，也是各位考研er比較害怕的一位，幫幫今天就為你揭開他的神秘面紗，我們一起來一探究竟。

　　▲向量是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是研究線性方程組的解而引入的工具，在考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這一科目中出題頻率很高，屬于每年必考題型，考查方式為選擇題和解答題，分值4分到11分不等。

　　向量是數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三均考查的內(nèi)容，根據(jù)考試大綱，數(shù)學(xué)一比數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三的考試內(nèi)容多了一個考點(diǎn)。多出的考試內(nèi)容包括：“了解向量空間、子空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)等概念，了解基變換及坐標(biāo)變換公式，會求過渡矩陣”，這些內(nèi)容雖然考試的頻率不高，但考數(shù)學(xué)一的考生也應(yīng)了解其概念和掌握基本計算方法。

　　?？碱}型：第一，判斷或證明向量組的線性相關(guān)性。對于抽象向量組來說，主要利用向量組的定義即向量組對應(yīng)的齊次線性方程組有無非零解來判定;而對于數(shù)值型向量組來說，主要利用向量組所構(gòu)成的矩陣的秩或行列式來判定。

　　第二，判斷某個向量是否可由一組向量線性表示，以及求其表達(dá)式，這類題目完全可以轉(zhuǎn)換為非齊次線性方程組是否有解，有解時求其所有的解來解決。

　　第三，求向量組的極大線性無關(guān)性，并寫出其他向量由極大線性無關(guān)組的表達(dá)式。對列向量組構(gòu)成的矩陣進(jìn)行初等行變換，化為行最簡形矩陣即可。

　　第四，判斷或證明向量組之間是否等價。一般用定義來證，也就是證明它們可以互相線性表示。

　　▲線性方程組是線性代數(shù)的另一核心考點(diǎn)?？荚囍?，線性方程組的內(nèi)容往往以解答題的形式出現(xiàn)，分值為11分，2016年數(shù)學(xué)一考了一道大題，11分，2017年也考察了一道大題，11分。

　　常考題型：第一，齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。對于齊次線性方程組，當(dāng)方程組的方程個數(shù)和未知量的個數(shù)不等時，可以按照系數(shù)矩陣的秩和未知量個數(shù)的大小關(guān)系來判定，還可以利用系數(shù)矩陣的列向量組是否相關(guān)來判定;當(dāng)方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同時，可以利用系數(shù)行列式與零的大小關(guān)系來判定，還可以利用系數(shù)矩陣有無零特征值來判定;對于非齊次線性方程組，可以利用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關(guān)矛盾方程來判定，還可以從一個向量可否由一向量組線性表出來判定;當(dāng)方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等時，可以利用系數(shù)行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解情況;今年的考題就體現(xiàn)了這種思想。

　　第二，齊次線性方程組的非零解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結(jié)構(gòu)問題。如果齊次線性方程組有無窮多個非零解時，其通解是由其基礎(chǔ)解系來表示的;如果非齊次線性方程組有無窮多解時，其通解是由對應(yīng)的齊次線性方程組和通解加本身一個特解所構(gòu)成;

　　第三，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求解與證明。利用系數(shù)矩陣的極大線性無關(guān)組的內(nèi)容進(jìn)行分析;

　　第四，齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論)。如果方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)不相等時，只能對其系數(shù)矩陣或增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，化為階梯形矩陣來進(jìn)行討論;如果方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同時，初等行變換和行列式可以結(jié)合起來一起進(jìn)行分析和討論;

　　第五，兩個方程組的公共解、通解問題。這部分有固定解法，考生要多加練習(xí)。

　　由于這部分常以大題出現(xiàn)，分值較高，需要考生提高警惕，在理解的基礎(chǔ)上多做題。