2018考研數(shù)學：曲面積分的解決方法

　　摘要：曲面積分一直是考研數(shù)學中的重中之重，而且常年用于命制大題，綜合題的經(jīng)典考點，更加是作為高等數(shù)學壓軸部分，用于考研數(shù)學拔高，本文分享了一些曲面積分的解決辦法，希望可以對你有益。

　　為什么曲面積分這么重要呢，因為一般來說從線到面的過渡過程，就可以給出一個維數(shù)持續(xù)升高時研究物體測度和其它典型性質(zhì)的途徑和方法。針對考研數(shù)學來說，曲面積分相關的題目是有技巧和典型方法的，下面文都老師就帶你總結一下解曲面積分相關問題時，應該了解的事情。

　　★曲面積分與一般二重積分的區(qū)別與聯(lián)系

　　二重積分不算是多元函數(shù)微積分的難點，因為它計算方法固定，幾何意義很清晰，只是普通面積元素附帶給定密度的組合。而從形式上看起來，曲面積分和二重積分相當類似，但是前者無論是計算難度，還是幾何意義上的清晰度，都要顯得更為復雜，這是為什么呢？

　　其實這是由于二重積分本身是在x-y平面上考慮的，而曲面積分的作用區(qū)域是一個曲面，兩者的曲率差異造成了它們計算方法和復雜程度之間的顯著差距。

　　但是兩者之間的聯(lián)系也很明顯，通過一些技巧和變換，如果能夠成功將曲面積分變成平面意義下的二重積分或者三重積分，就可以很容易計算出問題的答案。所以解決曲面積分問題的一個最為方便的途徑，就是化曲面為平面，變換參數(shù)從而將原問題轉化為普通積分。這樣就能使得原來非常復雜的問題變成了一個可以用簡單方法解決的問題。

　　那么一般情況下，應該如何化曲為直呢？在這一部分就給大家?guī)追N轉換途徑做一個歸納。為了方便起見，我們暫時不考慮曲面的定向。

　　（1）利用單變元轉為其余變元函數(shù)的參數(shù)方程

　　（2）利用經(jīng)典參數(shù)方程進行轉化

　　較為經(jīng)典的參數(shù)方程有三個參量的球坐標，柱坐標和廣義球坐標，廣義柱坐標等等。當然也可以考慮普通的仿射變換。在選取適當經(jīng)典參數(shù)方程時，需要的依據(jù)是給定曲面的特點。如果能夠選擇到合適的坐標轉換方式，很多復雜的曲面積分都可以迎刃而解，變成非常常規(guī)的普通積分題目。相反地，如果選取了一個不大合適的參數(shù)，即使最后可以做出結果，需要的時間也會變長，影響其它部分的考試效果。

　　一個選方程的經(jīng)驗是，如果給定的曲面是旋轉曲面，而且是球面的一部分，那么一般來說球變換是比較好的選擇。如果給定的曲面是柱面的一部分（直紋面），那么一般來說柱變換往往可以解決問題。如果給定曲面本身就是一個空間的平面，那么仿射變換是常用選擇。

　　（3）對稱型曲面積分的特別處理方法

　　較為復雜的曲面積分計算非常令人頭疼，但是如果恰好給出的曲面積分具有某種意義下的對稱性，那么問題就會變得相對容易。比如，給出的被積函數(shù)關于

　　有些時候，給定的曲面積分中被積函數(shù)恰好為1，那么此時曲面積分的幾何意義就是，給定曲面的面積。這種曲面積分在進行處理和計算的時候，與我在前面提到的幾種經(jīng)典方法并沒有本質(zhì)曲面，主要思想依舊是依賴適當?shù)淖鴺撕蛥?shù)選擇化曲為直，再按照一般積分的方法去處理。

　　特別值得一提的是，有些時候題目要求大家求一些曲面的面積，除了考慮用旋轉體面積公式之外，曲面積分的方法也是值得考慮的，因為這樣會顯得更為自然和直觀，而且不用刻意去記憶稍顯復雜的旋轉體面積公式。

　　（4）高斯公式

　　高斯公式是解決曲面積分問題的有力工具之一，它按照封閉曲面曲面直接過渡為三重積分的方式處理曲面積分，但是需要大家注意的是，如果給定的曲面不封閉，則需要添加一些部分使它封閉，再將得到的減去給出部分帶來的影響。第二點就是需要考慮定向，這些都寫在教科書和一般復習材料里，我在這里不再贅述。需要問的一個問題是，這樣做的本質(zhì)原因是什么？為什么可以將封閉的曲面積分直接轉化為三重積分？而根據(jù)斯托克斯公式，封閉曲線的積分也可以看成是曲面積分，這樣做的合理性是如何保證的？

　　想回答這些問題，需要更為抽象和高深的數(shù)學知識。

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