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中值定理的應(yīng)用及輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

  有關(guān)中值定理的證明問題是歷年出題的一個(gè)熱點(diǎn),將中值定理和介值定理或積分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。首先復(fù)習(xí)一下各大定理:
  1、介值定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B,那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).
  Ps:c是介于A、B之間的,結(jié)論中的ξ取開區(qū)間。
  介值定理的推論:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C。
  2、零點(diǎn)定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=0.
  Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù),端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.
  3、羅爾定理:如果函數(shù)f(x)滿足:
 ?。?)、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
 ?。?)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);
 ?。?)、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).
  那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f`(x)=0;
  PS:在用羅爾定理時(shí),關(guān)鍵是找出輔助函數(shù),且結(jié)論成立前提為開區(qū)間內(nèi)取值
  4、拉格朗日中值定理:如果函數(shù)f(x)滿足:
 ?。?)、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
 ?。?)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);
  那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).
  5、柯西中值定理:如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足
  (1)、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
  (2)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);
  (3)、對(duì)任一x(a<x<b),g`(x)≠0,
  那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)
  Ps:拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。
  題設(shè)或證明結(jié)論中含有一般的a,b,f(a),f(b)時(shí),經(jīng)常可考慮直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。
  對(duì)于“存在兩個(gè)點(diǎn)”的問題,一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理),然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。
  6、積分中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則至少存在一點(diǎn)ξ(a≤ξ≤b)使

  Ps:該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立,如果想在開區(qū)間內(nèi)使用,我們便構(gòu)造該函數(shù),運(yùn)用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運(yùn)用。
  通過上面對(duì)各個(gè)定理的簡(jiǎn)單介紹,可以看出“恰當(dāng)構(gòu)造輔助函數(shù)”成為靈活運(yùn)用中值定理的關(guān)鍵。下面將介紹幾種常見的輔助函數(shù)構(gòu)造方法:
  1、原函數(shù)法:先將ξ化為x,然后將式子恒等變形以便于積分,按照常微分方程求解后,所得式子F(x,f(x))=C,則F(x,f(x))即為所需的輔助函數(shù)。
  2、常數(shù)比值法:它適用于常數(shù)已分離的命題。
  3、觀察要證明的結(jié)論形式,如果與以下等式的右邊式子較為類似,則往往可以直接寫出輔助函數(shù):

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