中值定理的應用及輔助函數(shù)的構造方法

　　有關中值定理的證明問題是歷年出題的一個熱點，將中值定理和介值定理或積分中值定理結合命題是比較常見的命題形式。首先復習一下各大定理：
　　1、介值定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內至少有一點ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).
　　Ps:c是介于A、B之間的，結論中的ξ取開區(qū)間。
　　介值定理的推論：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C。
　　2、零點定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內至少存在一點ξ使得f(ξ)=0.
　　Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點函數(shù)值異號，結論是開區(qū)間存在點使函數(shù)值為0.
　　3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：
　?。?）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
　　（2）、在開區(qū)間(a,b)內可導;
　　（3）、在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).
　　那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),使得f`(x)=0;
　　PS：在用羅爾定理時，關鍵是找出輔助函數(shù)，且結論成立前提為開區(qū)間內取值
　　4、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：
　?。?）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
　?。?）、在開區(qū)間(a,b)內可導;
　　那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).
　　5、柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足
　?。?）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
　?。?）、在開區(qū)間(a,b)內可導;
　?。?）、對任一x(a<x<b),g`(x)≠0,
　　那么在(a,b)內至少存在一點ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)
　　Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理結論都是開開區(qū)間內取值。
　　題設或證明結論中含有一般的a,b,f(a),f(b)時，經(jīng)?？煽紤]直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。
　　對于“存在兩個點”的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。
　　6、積分中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點ξ(a≤ξ≤b)使

　　Ps：該定理課本中給的結論是在閉區(qū)間上成立，如果想在開區(qū)間內使用，我們便構造該函數(shù)，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內成立即可。千萬不可直接運用。
　　通過上面對各個定理的簡單介紹，可以看出“恰當構造輔助函數(shù)”成為靈活運用中值定理的關鍵。下面將介紹幾種常見的輔助函數(shù)構造方法：
　　1、原函數(shù)法：先將ξ化為x，然后將式子恒等變形以便于積分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,則F(x,f(x))即為所需的輔助函數(shù)。
　　2、常數(shù)比值法：它適用于常數(shù)已分離的命題。
　　3、觀察要證明的結論形式，如果與以下等式的右邊式子較為類似，則往往可以直接寫出輔助函數(shù)：