2015年數(shù)學(xué)一考試大綱

    八、常微分方程
    考試內(nèi)容
    常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用簡單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程微分方程的簡單應(yīng)用
    考試要求
    1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
    2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
    3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程．
    4．會用降階法解下列形式的微分方程：和．
    5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)．
    6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程．
    7．會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．
    8．會解歐拉方程．
    9．會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題．
    線性代數(shù)
    一、行列式
    考試內(nèi)容
    行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行（列）展開定理
    考試要求
    1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．
    2．會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式．
    二、矩陣
    考試內(nèi)容
    矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置逆矩陣的概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算
    考試要求
    1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì)．
    2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)．
    3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．
    4．理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．
    5．了解分塊矩陣及其運算．
    三、向量
    考試內(nèi)容
    向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量空間及其相關(guān)概念維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換過渡矩陣向量的內(nèi)積線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法規(guī)范正交基正交矩陣及其性質(zhì)
    考試要求
    1．理解維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．
    2．理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法．
    3．理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩．
    4．理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系．
    5．了解維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念．
    6．了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會求過渡矩陣．
    7．了解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法．
    8．了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì)．
    四、線性方程組
    考試內(nèi)容
    線性方程組的克拉默（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解解空間非齊次線性方程組的通解
    考試要求
    l．會用克拉默法則．
    2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．
    3．理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法．
    4．理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念．
    5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．
    五、矩陣的特征值和特征向量
    考試內(nèi)容
    矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
    考試要求
    1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量．
    2．理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法．
    3．掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)．
    六、二次型
    考試內(nèi)容
    二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其矩陣的正定性
    考試要求
    1．掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理．
    2．掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．
    3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法.
    概率論與數(shù)理統(tǒng)計
    一、隨機事件和概率
    考試內(nèi)容
    隨機事件與樣本空間事件的關(guān)系與運算完備事件組概率的概念概率的基本性質(zhì)古典型概率幾何型概率條件概率概率的基本公式事件的獨立性獨立重復(fù)試驗
    考試要求
    1．了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運算．
    2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式．
    3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法．
    二、隨機變量及其分布
    考試內(nèi)容
    隨機變量隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率密度常見隨機變量的分布隨機變量函數(shù)的分布
    考試要求
    1．理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率．
    2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用．
    3．了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布．
    4．理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布的概率密度為
    5．會求隨機變量函數(shù)的分布．
    三、多維隨機變量及其分布
    考試內(nèi)容
    多維隨機變量及其分布二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關(guān)性常用二維隨機變量的分布兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布
    考試要求
    1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關(guān)事件的概率．
    2．理解隨機變量的獨立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件．
    3．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義．
    4．會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數(shù)的分布．
    四、隨機變量的數(shù)字特征
    考試內(nèi)容
    隨機變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)
    考試要求
    1．理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征．
    2．會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
    五、大數(shù)定律和中心極限定理
    考試內(nèi)容
    切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大數(shù)定律伯努利（Bernoulli）大數(shù)定律辛欽（Khinchine）大數(shù)定律棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理列維-林德伯格（Levy-Lindberg）定理
    考試要求
    1．了解切比雪夫不等式．
    2．了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律）．
    3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維-林德伯格定理（獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理）．
    六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念
    考試內(nèi)容
    總體個體簡單隨機樣本統(tǒng)計量樣本均值樣本方差和樣本矩分布分布分布分位數(shù)正態(tài)總體的常用抽樣分布
    考試要求
    1．理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為
    2．了解分布、分布和分布的概念及性質(zhì)，了解上側(cè)分位數(shù)的概念并會查表計算．
    3．了解正態(tài)總體的常用抽樣分布．
    七、參數(shù)估計
    考試內(nèi)容
    點估計的概念估計量與估計值矩估計法最大似然估計法估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計的概念單個正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計
    考試要求
    1．理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念．
    2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．
    3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性．
    4、理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間．
    八、假設(shè)檢驗
    考試內(nèi)容
    顯著性檢驗假設(shè)檢驗的兩類錯誤單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗
    考試要求
    1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設(shè)檢驗的基本步驟，了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤．
    2．掌握單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗．

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